Pré-Vestibular ⇒ (UESB - 2011.2) Geometria Analitica Tópico resolvido

[Leocondeuba]

Olá a todos. Esta questão eu tentei resolvê-la e marquei a alternativa 05). Porém, no gabarito diz que a certa é a 03). Logo, fiquei com dúvida em relação a esta questão. Obrigado a todos desde já.

Wassily Kandisky foi um pinto escritor russo que se destacou pela qualidade de suas obras, bem como por introduzir a abstração nas artes visuais. (ARTEDUCA, 2011)

Na figura, ve-se uma de suas obras, Composição VIII, 1923. Óleo sobre tela, Museu Solomon R. Guggenheim, Nova Iorque. Nela, pode-se observar a presença de várias representações de circunferências e retas, algumas das quais com pontos comuns.

lok.png (98.92 KiB) Exibido 1349 vezes

Supondo-se que, na figura, as duas retas r e s tenham equações r: 8x + 6y + 9 = 0 e s: 3x - 4y - 1 = 0 e uma circunferência λ: (x - 5)^2 + (y + 2)^2 = 16, pode-se afirmar que as posições relativas entre r e s e entre r e λ são, respectivamente,

01) retas paralelas e reta secante à circunferência
02) retas paralelas e reta tangente à circunferência
03) retas perpendiculares e reta secante à circunferência.
04) retas perpendiculares e reta tangente à circunferência
05) retas concorrentes não perpendiculares e reta exterior à circunferência

[PedroCunha]

Primeiro devemos calcular os coeficientes angulares das retas:

[tex3]\text{Reta r: } 8x + 6y + 9 = 0 \therefore 6y = -8x - 9 \therefore y = -\frac{8}{6}x - \frac{9}{6} \therefore y = -\frac{4}{3}x - \frac{3}{2}

\\\\[/tex3]

Logo, o coeficiente angular dessa reta é: [tex3]\boxed{-\frac{4}{3}}[/tex3]

[tex3]\text{Reta s: } 3x - 4y - 1 \therefore 3x - 1 = 4y \therefore \frac{3}{4}x - \frac{1}{4} = y

\\\\[/tex3]

Logo, o coeficiente angular dessa reta é: [tex3]\boxed{\frac{3}{4}}[/tex3]


Agora observe: [tex3]\frac{3}{4} \cdot \left(- \frac{4}{3} \right) = \boxed{-1}[/tex3]

Como o produto dos coeficientes angulares deu -1, as retas são perpendiculares.

Agora observe a equação da circunferência dada:

[tex3](x-5)^2 + (y+2)^2 = 16[/tex3]

Agora, veja a equação reduzida de uma circunferência qualquer:

[tex3](x - x_c)^2 + (y- y_c)^2 = r^2[/tex3]

Comparando as duas, vemos que para a circunferência [tex3]\lambda[/tex3], as coordenadas do centro são [tex3](5, -2)[/tex3] e seu raio é [tex3]4[/tex3]. Agora, para a saber a posição relativa da reta à circunferência, precisamos calcular a distância da reta ao centro da mesma. Para fazer isso, iremos utilizar a fórmula da distância de um ponto à uma reta. Veja:

[tex3]D_{r, \lambda} = \left | \frac{a \cdot x_o + b \cdot y_o + c}{\sqrt{a^2 + b^2}} \right|[/tex3]

onde [tex3]a, x_o, b, y_o, c[/tex3] representam respectivamente o coeficiente de x na reta, abscissa do ponto, o coeficiente de y na reta, ordenada do ponto e o coeficiente do termo independente da reta; Calculando esse valor:

[tex3]D_{r, \lambda} = \left | \frac{8 \cdot 5 - 6 \cdot 2 + 9}{\sqrt{8^2 + 6^2}} \right| \therefore D_{r, \lambda} = \left | \frac{27}{\sqrt{100}} \right| \therefore \boxed{D_{r, \lambda} = 2,7}[/tex3]

Como a distância da reta ao centro da circunferência é menor que o raio da mesma, concluímos que a reta é secante à circunferência. Logo, resposta: 03

Att.,
Pedro

[Leocondeuba]

Obrigado pela ajuda. Havia me esquecido de isolar o y.

[PedroCunha]

Só corrigindo:

[tex3]D_{r, \lambda} = \left | \frac{8 \cdot 5 - 6 \cdot 2 + 9}{\sqrt{8^2 + 6^2}} \right| \therefore D_{r, \lambda} = \left | \frac{37}{\sqrt{100}} \right| \therefore \boxed{D_{r, \lambda} = 3,7}[/tex3]

Att.,
Pedro

¹Agradecimentos ao Paulo Testoni por apontar o erro na soma