Pré-Vestibular ⇒ (UESB - 2011.2) Geometria Espacial - Polinômios

[Leocondeuba]

Olá a todos. Estou com dificuldade nesta questão pois só encontro raízes que somando não resultam nos resultados das alternativas. Desde já agradeço a todos que tentarem me ajudar.

Na figura ao lado, as medidas [tex3]a, b, c[/tex3] são, respectivamente, iguais ao polinômios [tex3]3x^2 + 5, \,\,2x^3 - 2x,\,\,x^2 + 1.[/tex3]
Se [tex3]P(x)[/tex3] é o polinômio que representa a área total do sólido representado na figura, então a soma dos inversos das raízes de [tex3]P(x)[/tex3] é igual a:

01) [tex3]\frac{12}{5}[/tex3]
02) [tex3]\frac{8}{5}[/tex3]
03) [tex3]\frac{4}{5}[/tex3]
04) [tex3]-\frac{8}{5}[/tex3]
05) [tex3]-\frac{6}{5}[/tex3]

[theblackmamba]

A área de um paralelepípedo vale:

[tex3]S=2\cdot (ab+ac+bc)[/tex3]
[tex3]P(x)=2\cdot [(3x^2+5)\cdot (2x^3-2x)+(3x^2+5)\cdot (x^2+1)+(2x^3-2x)\cdot (x^2+1)][/tex3]

Desenvolvendo...:

[tex3]P(x)=16x^5+6x^4-8x^3+16x^2-24x+10[/tex3]

Soma dos inversos das raízes:

[tex3]\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+\frac{1}{x_3}+\frac{1}{x_4}+\frac{1}{x_5}=\frac{x_2\cdot x_3\cdot x_4\cdot x_5+x_1\cdot x_3\cdot x_4\cdot x_5+x_1\cdot x_2\cdot x_4\cdot x_5+x_1\cdot x_2\cdot x_3\cdot x_5+x_1\cdot x_2\cdot x_3\cdot x_4}{x_1\cdot x_2\cdot x_3\cdot x_4\cdot x_5}[/tex3]

Pelas relações de Girard no polinômio:

[tex3]x_2\cdot x_3\cdot x_4\cdot x_5+x_1\cdot x_3\cdot x_4\cdot x_5+x_1\cdot x_2\cdot x_4\cdot x_5+x_1\cdot x_2\cdot x_3\cdot x_5+x_1\cdot x_2\cdot x_3\cdot x_4=-\frac{24}{16}[/tex3]
[tex3]x_1\cdot x_2\cdot x_3\cdot x_4\cdot x_5=-\frac{10}{16}[/tex3]

Portanto,
[tex3]\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+\frac{1}{x_3}+\frac{1}{x_4}+\frac{1}{x_5}=\frac{-\frac{24}{16}}{-\frac{10}{16}}[/tex3]
[tex3]\boxed{\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+\frac{1}{x_3}+\frac{1}{x_4}+\frac{1}{x_5}=\frac{12}{5}}[/tex3]. Alternativa 01

Abraço.

[PedroCunha]

Acho que o desenho ficou meio esquisito. Pensei que fosse um cubo.