Ensino Superior ⇒ Equações Diferencias Tópico resolvido

[Vanini]

Olá Pessoal!
To com muita duvida nesses dois exercícios de equação... Não estou conseguindo resolver.. Será que alguém pode me ajudar? Grata desde já a quem me ajudar!

1) O preço de revenda de certa máquina descreve em um período de 10 anos, segundo uma taxa que depende do tempo de uso da máquina. Quando a máquina tem t anos, a taxa de variação do seu valor é [tex3]220(t-10)[/tex3] reais por ano. Expresse o valor da máquina como função do tempo de uso e do valor inicial. Se a máquina vale originalmente R$ 12.000,00 quanto valerá quando tiver 10 anos de uso?

Resposta

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[tex3]V(t) = 100\cdot t^{2}-2.200t+C;\,\,\, V(10) = \text{R}\$ \,1.000,00[/tex3]

[theblackmamba]

Seja [tex3]V[/tex3] o preço da venda da peça após [tex3]t[/tex3] então temos pelo enunciado:

[tex3]\frac{dV}{dt}=220(t-10)[/tex3]
[tex3]\int_{V_0}^VdV=220\int_{t_0}^t(t-10)\,dt[/tex3]

[tex3]V-V_0=220\cdot \left[\frac{(t-t_0)^2}{2}-10(t-t_0)\right][/tex3]. Assumindo [tex3]t_0=0:[/tex3]
[tex3]\boxed{V=V_0+110t^2-2200t}[/tex3]

Para [tex3]t=t_0=0[/tex3] (tempo inicial) temos [tex3]V=V_0=12000[/tex3]:

Queremos saber [tex3]V[/tex3] para [tex3]t=10\,\,anos[/tex3]:

[tex3]V=12000+220\cdot \left(\frac{10^2}{2}-10\cdot 10\right)[/tex3]
[tex3]\boxed{V=\text{R}\$\,1000,00}[/tex3]

No caso a constante [tex3]C=V_0[/tex3]