Ensino Superior ⇒ Limites - Definição Formal Tópico resolvido

[isabelamaia]

Considere [tex3]f(x)=\sqrt{x+1}[/tex3]. Encontre [tex3]\delta>0[/tex3] tal que [tex3]|x|<\delta[/tex3] garanta [tex3]|\sqrt{x+1}-1|<0,1[/tex3].


Gostaria que me ajudassem. Não sei como proceder neste caso quando envolve raiz.
Desde já, agradeço pela atenção.

[Juniorsoares]

Vou dar uma ideia, porém não tenho certeza:

|[tex3]\sqrt{x+1}[/tex3]-1|<0,1

Multiplicaria pelo conjugado e dividiria pelo mesmo, ou seja uma multiplicação por 1:

|[tex3]\sqrt{x+1}[/tex3]-1*[([tex3]\sqrt{x+1}[/tex3]+1)/([tex3]\sqrt{x+1}[/tex3]+1)|<0,1

|x+1-1/([tex3]\sqrt{x+1}[/tex3]+1)|<0,1
|x/([tex3]\sqrt{x+1}[/tex3]+1)|<0,1
|x|/|([tex3]\sqrt{x+1}[/tex3]+1)|<0,1
|x|/<0,1*([tex3]\sqrt{x+1}[/tex3]+1)


Observe que neste ponto estamos próximo da expressão que fornece o delta, porém ele não pode depender de x, mas isso pode ser resolvido lembrando que estamos interessados somente em valores de x que estão próximos de zero, ou seja, podemos limitar o fator |x| por 0,1, assim |x|<0,1 dessa afirmação temos que:

|x|<1
-0,1<x<0,1
0,9<x+1<1,1
0,94<[tex3]\sqrt{x+1}[/tex3]<1,04

1<[tex3]\sqrt{x+1}[/tex3] + 1<2,04 e isso implica que:

|[tex3]\sqrt{x+1}[/tex3] + 1|<2,04 e assim obtemos:

|x|/<0,1*|([tex3]\sqrt{x+1}[/tex3]+1)|<0,1*2,04

|x|/<0,1*|([tex3]\sqrt{x+1}[/tex3]+1)|<0,24



e portanto o delta=min{0,1 ; 0,24}=0,1

Vamos verificar se tal delta satisfaz a condição acima:

Se |x|<0,1 então

-0,1<x<0,1
0,9<x+1<1,1
0,94<[tex3]\sqrt{x+1}[/tex3]<1,04

0,94 - 1 <[tex3]\sqrt{x+1}[/tex3] - 1 <1,04 - 1

-0,6 <[tex3]\sqrt{x+1}[/tex3] - 1 < 0,04

Satisfez! já que 0,04<0,1

Nesse caso delta=epsilon mas isso não ocorre sempre. OBSERVE que tomei uma limitação de x bem pequena ou seja 0,1, você poderia limitar por 100 ou um número bem maior, mas depois você JAMAIS pode esquecer de tomar o mínimo da limitação e o delta final, pois senão você não consegue a garantir a implicação.