Pré-Vestibular ⇒ (CEDERJ 2008-2) Geometria Analítica Tópico resolvido

[ALANSILVA]

Observe o gráfico a seguir:

grafico.png (36.85 KiB) Exibido 831 vezes

Um aluno fez, com base no gráfico, as seguintes afirmações:
I. A reta r passa pelo ponto D = ([tex3]\frac{1}{2}[/tex3],4)
II. O coeficiente angular da reta s que passa pelos pontos A = (-2,5) e C = (-3,1) é igual a 4.
III. A distância do ponto B à reta r é igual à medida do segmento PB, onde P = (1,5).

Classifique cada afirmação do aluno como falsa ou verdadeira.
Apresente os cálculos que você fez para concluir que a afirmação era falsa ou verdadeira.

[ALANSILVA]

Por se tratar de questão discursiva do vestibular, não disponho de gabarito

Alguém se habilita a resolver?

[PedroCunha]

I) Não é possível afirmar com toda certeza, mas no 'olhômetro' diria que sim.

II) Reta s:

[tex3]\begin {vmatrix} x & y & 1 \\ -2 & 5 & 1 \\ -3 & 1 & 1 \end{vmatrix} \begin{matrix} x & y \\ -2 & 5 \\ -3 & 1 \end{matrix} \therefore \\\\ 5x + 3y - 2 - (-15 + x - 2y) = 0 \therefore 5x - 3y - 2 + 15 - x + 2y = 0 \therefore -y + 4x + 13 \therefore \\\\ y = 4x +13 \rightarrow m = 4[/tex3]

Verdadeira

III) No 'olhômetro', vemos que a reta r passa por [tex3]D\left(\frac{1}{2},4\right)[/tex3] e [tex3]P(1,5)[/tex3]. Logo, a sua equação é:

[tex3]\begin{vmatrix} x & y & 1 \\ \frac{1}{2} & 4 & 1 \\ 1 & 5 & 1 \end{vmatrix} \begin{matrix} x & y \\ \frac{1}{2} & 4 \\ 1 & 5 \end{matrix} \therefore \\\\
4x + y + \frac{5}{2} - (4 + 5x + \frac{y}{2}) = 0 \therefore 4x + y + \frac{5}{2} - 4 - 5x - \frac{y}{2} \rightarrow M.M.C. = 2 \therefore \\\\ \frac{8x + 2y + 5 - 8 - 10x - y = 0}{\cancel{2}} \therefore -2x + y - 3 = 0[/tex3]

Calculando a distância de B à R:

[tex3]d = \frac{| ax_0 + by_o + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}} \therefore d = \frac{|-2 \cdot 2 +1 \cdot 4 - 3|}{\sqrt{(-2)^2 + (1)^2}} \therefore d = \frac{3}{\sqrt5} \therefore \boxed{d = \frac{3\sqrt5}{5}}[/tex3]

Medida do segmento PB:

[tex3]PB = d_{P,B} = \sqrt{(5-4)^2 + (1 - 2)^2} \therefore PB = \sqrt{1 + 1} \therefore \boxed{PB = \sqrt2}[/tex3]

Logo, III falso.

Penso que seja isso.

Att.,
Pedro

[gabrielbpf]

Olá.

Para a assertiva I, olhemos o gráfico: A reta [tex3]r[/tex3] passa pelo ponto [tex3](1, \, 5)[/tex3] e pelo ponto [tex3](-1, \, 2)[/tex3]. Logo, temos que o ângulo que a reta faz com o eixo das abcissas é [tex3]arctan\left(\frac{5-2}{1-(-1)}\right) \Rightarrow arctan\left(\frac{3}{2}\right)[/tex3]. Daí tiramos que a equação da reta é [tex3]y=\frac{3}{2}\cdot x +b[/tex3], seja [tex3]b[/tex3] o ponto onde a reta toca o eixo das ordenadas. Substituindo um dos dois pontos, teremos esse valor.
[tex3]5=\frac{3}{2}+b \Rightarrow b=\frac{7}{2}[/tex3]

Logo: [tex3]y=\frac{3\cdot x+7}{2} \Rightarrow y'=\frac{3\cdot \frac{1}{2}+7}{2} \Rightarrow y'=\frac{\frac{17}{2}}{2} \Rightarrow y'=\frac{17}{4}[/tex3]

Assertiva falsa. Não tive muito tempo de conferir os cálculos, mas depois volto aqui.
Abraços.

[PedroCunha]

Concordo com você Gabriel.

Não tinha visto o outro ponto. Refazendo a assertiva III:

[tex3]r = \frac{3x}{2} - y + \frac{7}{2} \\\\
B(2;4)

\\\\

d_{r,B} = \frac{3 - 4 + \frac{7}{2}}{\sqrt{\frac{13}{4}}} \therefore d_{r,B} = \frac{\frac{5}{2}}{\frac{\sqrt13}{2}} \therefore \boxed{d_{r,B} = \frac{5\sqrt{13}}{13}}[/tex3]

Portanto a III continua sendo falsa.

Att.,
Pedro