Pré-Vestibular ⇒ (CEFET-MG 2013) Circunferência

[gllauciene]

Em um plano, uma reta que passa pelo ponto P(8,10) tangencia a circunferência [tex3]x^2 + y^2 4x - 6y -3 = 0[/tex3] no ponto A. A medida do segmento PA, em unidades de comprimento, é

[tex3]a) \,\,\sqrt{12}.\\
b) \,\,\sqrt{34}.\\
c) \,\,\sqrt{45}.\\
d) \,\,\sqrt{69}.\\
e) \,\,\sqrt{85}.[/tex3]

Podem me ajudar com essa questão?

[PedroCunha]

Antes de mais nada, vamos determinar o centro da circunferência e o seu raio utilizando as seguintes fórmulas:

[tex3]\begin{cases}

C \left(\frac{\text{Coeficiente de x}}{-2}; \frac{\text{Coeficiente de y}}{-2} \right) \\\\
R = \sqrt{a^2 + b^2 - p}

\end{cases}[/tex3]

Onde [tex3]a, b, p[/tex3] representam, respectivamente, as coordenadas do centro do circunferência e um número real qualquer (termo independente). Portanto:

[tex3]\begin{cases}

C \left(\frac{-4}{-2} ; \frac{-6}{-2} \right) \rightarrow C (2;3) \\\\
R = \sqrt{2^2 + 3^2 - (-3)} \therefore R = \sqrt{4 + 9 + 3} \therefore R = \sqrt{16} \therefore R = 4

\end{cases}[/tex3]

Agora que temos o centro e o raio, vamos fazer um desenho. Veja:

circun.png (12.86 KiB) Exibido 6921 vezes

Observe o triângulo [tex3]PAC[/tex3]. Veja que a medida da hipotenusa é igual à distância do centro até o ponto [tex3]P[/tex3]. Vamos calcular essa distância:

[tex3]D_{CP} = \sqrt{(y_p - y_c)^2 + (x_p - x_c)^2} \therefore D_{CP} = \sqrt{(10-3)^2 + (8-2)^2} \therefore \\\\ D_{CP} = \sqrt{49 + 36} \therefore D_{CP} = \sqrt{85}[/tex3]

Veja que para encontrar o valor do segmento [tex3]PA[/tex3], basta aplicarmos o Teorema de Pitágoras, ficando da seguinte maneira:

[tex3](\sqrt{85})^2 = 4^2 + (\overline{PA})^2 \therefore 85 - 16 = (\overline{PA})^2 \therefore \boxed{\boxed{\overline{PA} = \sqrt{69}}}[/tex3]

É isso.

Qualquer dúvida é só perguntar.

Att.,
Pedro

[gllauciene]

Obrigada!

Só duas coisas, esse -2 que divide o coeficiente de x e y, é da fórmula?

E essa fórmula do [tex3]R=\sqrt{a^2+b^2+p}[/tex3] , quando eu posso usar? Só em casos que pedir a PA?

[PedroCunha]

Para a primeira pergunta:

Sim.

Para a segunda pergunta:

Você sempre pode usá-la.

Att.,
Pedro

[gllauciene]

Ok
Muito obrigada!