Concursos Públicos ⇒ (CESPE/UNB-SEDUC-CE 2013) Números Complexos Tópico resolvido

[cicero444]

Os números complexos são da forma z = a + bi, em que a e b são números reais e i é tal que [tex3]i^{2}[/tex3]=-1,— chamada de unidade imaginária. O plano cartesiano é usado para representar os números complexos geometricamente, como ilustrado na figura 1 abaixo. Representa-se o número complexo z = a + bi como o ponto de coordenadas (a, b). As extremidades dos ponteiros das horas e dos minutos nos relógios, com ilustrado na figura 2, podem ser representadas por pares de números complexos.

relogio.png (35.5 KiB) Exibido 1756 vezes

Considere que, em determinado instante, depois do meio-dia, as extremidades dos ponteiros de um relógio sejam representadas
pelos números complexos z = 2i e w= [tex3]\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}[/tex3] i.Nesse caso, é correto afirmar que os ponteiros marcam
A 12 h e 5 min.
B 12 h e 7 min.
C 12 h e 30 min.
D 13 horas.
E 16 h e 7 min.

[csmarceloMOD]

[tex3]|z|=\sqrt{0^{2}+2^{2}}=\sqrt{4}=2=>\alpha=90[/tex3], pois [tex3]\begin{cases}
sen\alpha=\frac{b}{|z|}=\frac{2}{2}=1\\
cos\alpha=\frac{a}{|z|}=\frac{0}{2}=0
\end{cases}[/tex3]
[tex3]|w|=\sqrt{(\frac{1}{2})^{2}+(\frac{\sqrt{3}}{2})^{2}}=\sqrt{\frac{1}{4}+\frac{3}{4}}=\sqrt{1}=1=>\beta=60[/tex3], pois [tex3]\begin{cases}
sen\beta=\frac{b}{|w|}=\frac{\sqrt{3}}{2}\\
cos\beta=\frac{a}{|w|}=\frac{1}{2}
\end{cases}[/tex3]

Untitled.png (12.07 KiB) Exibido 1599 vezes

Um dos ponteiros, obviamente, está na hora zero.

No relógio analógico, a cada marcação de hora (ou de cinco minutos) temos uma abertura de 30º (360º / 12(horas) = 30º). Portanto, o segundo ponteiro está exatamente em cima do "1".

E agora? São 13h ou 12h05? Veja que, para ser 12h05, o ponteiro das horas não poderia estar exatamente sobre o "12".

Outra forma de se chegar a resposta certa (13h ou 12h05?) é perceber que, conforme dito no enunciado, os pontos no plano determinam as extremidades dos ponteiros o que, automaticamente, indica quem é quem (o ponteiro dos minutos é mais comprido).

Resposta: letra D.