Concursos Públicos ⇒ (CESPE/UNB-SEDUC-CE 2009) Números Complexos Tópico resolvido

[cicero444]

Um bairro localizado no centro de uma grande cidade tem a sua área descrita, no plano complexo, por [tex3]|\text{Re(z)} | + | \text{Im(z)} | \leq 2[/tex3], em que [tex3]z = x + iy,\,\,\,\,\, i = \sqrt{-1}, \,\,\,\,\,x = \text{Re} (z) \,\,\text{e}\,\, y = \text{Im} (z)[/tex3] denotam, respectivamente, a parte real e a imaginária do número complexo [tex3]z[/tex3], e as unidades dos eixos coordenados [tex3]Ox[/tex3] e [tex3]Oy[/tex3] são expressas em quilômetros. Considere que uma operadora de Internet via rádio tenha instalado uma antena na posição correspondente ao ponto [tex3]P = 1 - i[/tex3], que o sinal emitido pela antena tenha a mesma intensidade em todas as direções, que, em qualquer parte desse bairro, o sinal emitido pela antena chegue com qualidade do fluxo de dados satisfatória. Nesse caso, tomando [tex3]3,14[/tex3] como valor aproximado para [tex3]B[/tex3], é correto afirmar que o sinal emitido pela antena, com qualidade satisfatória, atinge uma área pelo menos igual a

[tex3]A) \,\,12,56\,\,km^{2}\\
B) \,\,31,40\,\,km^{2} \\
C) \,\,36,30 \,\,km^{2}\\
D) \,\,56,52 \,\,km^{2}[/tex3]

[csmarceloMOD]

Dado o número complexo z=x+iy, sua representação no plano cartesiano se dá através do ponto de coordenadas (x, y). A partir dessa definição, podemos interpretar a inequação [tex3]| \text{Re(z)} | + | \text{Im(z)} | \leq 2[/tex3] como:
[tex3]|x|+|y|\leq2\rightarrow|y|\leq2-|x|[/tex3]
A partir daí, conseguimos limitar a área do bairro por quadrante:
[tex3]|y|\leq2-|x|\rightarrow\begin{cases}
y\leq 2-x,\text{ para }y\geq0\text{ e }x\geq0\\
y\leq x+2,\text{ para }y\geq0\text{ e }x<0\\
y\leq -x-2,\text{ para }y<0\text{ e }x<0\\
y\leq x-2,\text{ para }y<0\text{ e }x\geq0\\
\end{cases}[/tex3]
Adicionando ao plano o ponto P(1, -1), centro da circunferência de raio PC que define a abrangência do sinal de rádio de boa qualidade da operadora, temos o seguinte gráfico:

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[tex3]CD=\text{diagonal do quadrado de lado CO}=CO\sqrt{2}\\
CD=2\sqrt{2}[/tex3]

[tex3]PD=\text{diagonal do quadrado de lado PE}=PE\sqrt{2}\\
PD=\sqrt{2}[/tex3]

[tex3]PC^{2}=CD^{2}+PD^{2}\\
PC^{2}=2\sqrt{2}^{2}+\sqrt{2}^{2}\\
PC^{2}=8+2\\
PC^{2}=10\\
PC=\sqrt{10}\\[/tex3]
Área de cobertura = [tex3]\pi*PC^{2}=3,14*10=31,4[/tex3]