Ensino Médio ⇒ (IEZZI) Exponencial Tópico resolvido

[BrunoCFS]

A Equação [tex3]25^{x}-2m\,5^{x}+3m+1=0[/tex3] admite solução, se e somente.

a) [tex3]m< \frac{1}{3}\, \, e\, \, m\geq 3[/tex3]
b) [tex3]m< -\frac{1}{3}[/tex3]
c) [tex3]m\geq \frac{3\pm \sqrt{13}}{2}[/tex3]
d) [tex3]-\frac{1}{3}\leq m\leq \frac{\sqrt{13}}{2}[/tex3]
e) [tex3]m\leq \frac{3\pm \sqrt{13}}{2}[/tex3]

Eu consegui chegar nessa equação aqui:
[tex3]m^{2}-3m-1=0[/tex3]

Ai em seguida pensei que deveria ser feita dessa forma aqui:
[tex3]m^{2}-3m-1\geq 0[/tex3]


Alguém poderia me explicar ?

Abraço !

[jrneliodias]

Olá, Bruno.

O segundo pensamentos está certo, já que para uma equação do segundo grau possuir raízes reais, o discriminante deve ser nulo ou positivo. Logo:

[tex3]m\leq \frac{3-\sqrt{13}}{3}\, \,\,\, ou\,\,\, \, m\geq \frac{3+\sqrt{13}}{3}[/tex3]

Porém, não devemos esquecer que se trata de uma função exponencial. Assim, [tex3]5^x>0[/tex3], isto é,

[tex3]m+\sqrt{m^2-3m-1}>0\,\,\,\,e\,\,\,\,m-\sqrt{m^2-3m-1}>0[/tex3]

Logo:

[tex3]\sqrt{m^2-3m-1}>-m\,\,\,\,e\,\,\,\,\sqrt{m^2-3m-1}<m[/tex3]

Na primeira parte, temos que analisar dois casos, se [tex3]m\geq 0[/tex3] ou [tex3]m<0[/tex3].

Se [tex3]m\geq 0\,\,\,\Rightarrow\,\,\,\,-m\leq 0[/tex3], desse modo:

[tex3]\sqrt{m^2-3m-1}>-m\,\,\,\,\,\Leftrightarrow\,\,\,\,\,\,m^2-3m-1\geq 0\,\,\,\Rightarrow\,\,\,\,m\geq \frac{3+\sqrt{13}}{3}[/tex3]

Se [tex3]m< 0\,\,\,\Rightarrow\,\,\,\,-m>0[/tex3], então:

[tex3]\sqrt{m^2-3m-1}>-m\,\,\,\,\,\Leftrightarrow\,\,\,\,\,\,m^2-3m-1\geq m^2\,\,\,\Rightarrow\,\,\,\,m\leq -\frac{1}{3}[/tex3]

Para a primeira parte, obtemos:

[tex3]m+\sqrt{m^2-3m-1}>0\,\,\,\,\Leftrightarrow\,\,\,\,\,m\geq \frac{3+\sqrt{13}}{3}\,\,\,\,\,ou\,\,\,\,\,m\leq -\frac{1}{3}[/tex3]

A segunda parte é mais simples, pois para [tex3]m<0[/tex3], um radical nunca será negativo. Então fazendo [tex3]m\geq 0[/tex3], teremos:

[tex3]\sqrt{m^2-3m-1}<m\,\,\,\,\,\Rightarrow\,\,\,\,m^2-3m-1<m^2\,\,(m\geq0)\,\,\,\Rightarrow\,\,\,\,m\geq 0[/tex3]

Assim:

[tex3]m-\sqrt{m^2-3m-1}>0\,\,\,\,\Leftrightarrow\,\,\,\,m\geq 0[/tex3]

Por fim:

[tex3]m\pm\sqrt{m^2-3m-1}>0\,\,\,\,\Leftrightarrow\,\,\,\,m\geq \frac{3+\sqrt{13}}{3}[/tex3]

Espero ter ajudado, abraço.

[Juniorhw]

Outra maneira seria fazer o discriminante [tex3]m^2-3m-1\geq 0[/tex3] e depois, como temos que a parábola [tex3]p=q^2-2mq+3m+1[/tex3] não admite abcissas negativas ou nulas (já que [tex3]q=5^x[/tex3]), a soma das raízes é sempre positiva, isto é:

[tex3]\frac{-b}{a}>0\to \frac{2m}{1}>0\to m>0[/tex3]

Então, fazendo a intersecção, ficamos com [tex3]m\geq \frac{3+\sqrt{13}}{3}[/tex3]

Correção:

Soma e produto devem ser positivos:

[tex3]\frac{-b}{a}>0\,\,e\,\,\frac{c}{a}>0\\\\2m>0\,\,e\,\,3m+1>0\\\\m>0\,\,e\,\,m>\frac{-1}{3}\Rightarrow m>0[/tex3]


Abraço!

[jrneliodias]

Boa sacada. Como observação, a soma das raízes ser positiva apenas indica que pode existir duas raízes positivas ou uma positiva e outra negativa na qual a positiva possui maior módulo. Então, para descarta a segunda opção, dizemos que o produto deve ser positivo. Aqui, isso não altera o resultado, mas achei importante ressaltar.

Abraço.

[Juniorhw]

É verdade, obrigado pela observação, vou editar.

Abraço!

[BrunoCFS]

Desculpa, mas eu não entendi essa parte:
[tex3]m+\sqrt{m^2-3m-1}>0\,\,\,\,e\,\,\,\,m-\sqrt{m^2-3m-1}>0[/tex3]

Por que o delta foi parar dentro dessa raiz ?
E esse "m" que está somando em uma equação e na outra subtraindo ?

Não consegui intender, pois antes estava pensando que você tinha aplicado na fórmula de baskhara.

[jrneliodias]

Então, Bruno.

Eu restringi o delta e o [tex3]5^x[/tex3], no qual é a raiz do polinômio [tex3]25^{x}-2m\,5^{x}+3m+1=0[/tex3]. Logo:

[tex3]5^x=m\pm\sqrt{m^2-3m-1}[/tex3]

Abraço.