IME/ITA ⇒ (IME CG - 2013) Mecânica Tópico resolvido

[Willm17]

O sistema em equilíbrio apresentado na figura acima é composto por uma barra de massa total M uniformemente distribuída, homogênea e de comprimento total 8a, que se encontra na horizontal e pivotada no ponto B, sofrendo a ação de três blocos idênticos e de uma mola ideal comprimida de x. Na situação inicial, o sistema foi utilizado para determinar a constante elástica K da mola. De modo a determinar a massa específica µ de um líquido, preencheu-se o reservatório até que o bloco ficasse submerso a uma altura h e simultaneamente moveu-se o bloco sobre a barra de a/2 para esquerda, de modo a manter a barra na horizontal em equilíbrio, como mostrado na figura na situação final.

Desconsiderando o atrito entre o bloco e a rampa e assumindo roldanas e fios ideais, determine:

a) a constante elástica K;
b) a massa específica µ do líquido.

Observações:

• massa da barra: M;

• massa de cada bloco: M;

• massa específica de cada bloco: ρ;

• aceleração da gravidade: g.

[Juniorhw]

a) Adotando os momentos das forças em relação ao apoio B no sentido horário como positivos, temos:

Momento do Peso da Barra: [tex3]Mg\cdot 2a[/tex3]
Momento do bloco do meio (deve-se contar a distância a partir do centro de gravidade do bloco, ou seja, do meio): [tex3]-Mg\cdot \frac{a}{2}[/tex3]
Momento do bloco da esquerda (devemos decompor a força e aplicar somente a força perpendicular à barra): [tex3]-Mg(\cos \text{a})\cdot 2a[/tex3]
Momento do bloco da direita (aqui temos uma polia móvel, dividindo o peso em dois): [tex3]-\frac{Mg}{2}\cdot 2a[/tex3]
Momento da força elástica: [tex3]-kx\cdot 4a[/tex3]

O sistema está em equilíbrio, logo a soma dos momentos deve ser nula:

[tex3]Mg\cdot 2a-Mg\cdot \frac{a}{2}-Mg(\cos \text{a})\cdot 2a-\frac{Mg}{2}\cdot 2a-kx\cdot 4a=0\\\\2Mg-\frac{Mg}{2}-2Mg(\cos \text{a})-Mg-4kx=0\\\\4kx=\frac{Mg}{2}-2Mg(\cos \text{a})\\\\\boxed{k=\frac{Mg(1-4\cos \text{a})}{8x}}[/tex3]

b) Aqui é aplicado o mesmo raciocínio, porém agora a distância do bloco do meio mudou e temos empuxo.
Momento do bloco do meio: [tex3]-Mg\cdot a[/tex3]
Empuxo: [tex3]E=\mu \cdot Vg=\mu \cdot a^2h\cdot g[/tex3]
Momento do bloco da direita: [tex3]-\frac{(Mg-\mu \cdot a^2h\cdot g)}{2}\cdot 2a=(\mu \cdot a^2h\cdot g-Mg)\cdot a[/tex3]

Soma dos momentos nula:

[tex3]Mg\cdot 2a-Mg\cdot a-Mg(\cos \text{a})\cdot 2a+(\mu \cdot a^2h\cdot g-Mg)\cdot a-kx\cdot 4a=0\\\\2Mg-Mg-2Mg(\cos \text{a})+\mu \cdot a^2h\cdot g-Mg-4\left[\frac{Mg(1-4\cos \text{a})}{8x}\right]x=0\\\\-2Mg\cdot \cos \text{a}+\mu \cdot a^2hg-\frac{Mg(1-4\cos \text{a})}{2}=0\\\\\mu a^2h=\frac{M(1-4\cos \text{a})+4M\cdot \cos \text{a}}{2}\\\\\boxed{\mu=\frac{M}{2a^2h}}[/tex3]

Um abraço.