Pré-Vestibular ⇒ (UFBA 2009) - Cônica Tópico resolvido

[Willm17]

No sistema de coordenadas cartesianas, as curvas E e C satisfazem as seguintes propriedades:

[tex3]\circ[/tex3] Para qualquer ponto [tex3]Q(x,y)[/tex3] de [tex3]E[/tex3] a soma das distâncias de [tex3]Q(x,y)[/tex3] a [tex3]F_{1}(-\sqrt{3},0)[/tex3] e de [tex3]Q(x,y)[/tex3] a [tex3]F_{2}(\sqrt{3},0)[/tex3] é constante e igual a [tex3]4u.c[/tex3].
[tex3]\circ[/tex3] C é uma parábola com vértice na instersecção de [tex3]E[/tex3] com o semieixo positivo [tex3]Oy[/tex3] e passa por [tex3]F_{2}[/tex3].

Com base nessas informações, determine os pontos de intersecção de [tex3]E[/tex3] e [tex3]C[/tex3].

Resposta

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Gabarito: [tex3]\left(\frac{\sqrt{15}}{2};-\frac{1}{4}\right)[/tex3] e [tex3]\left(-\frac{\sqrt{15}}{2};-\frac{1}{4}\right)[/tex3]

[Juniorhw]

[tex3]E[/tex3] é uma elipse cuja semi-distância do eixo maior é [tex3]2a=4\to a=2[/tex3]. A distância focal é [tex3]2c=2\sqrt{3}\to c=\sqrt{3}[/tex3]. De acordo com: [tex3]a^2=b^2+c^2[/tex3], onde b é a semi-distância do eixo menor, temos: [tex3]2^2=b^2+\sqrt{3}^2\to b=1[/tex3]. Logo a equação da elipse é: [tex3]\frac{x^2}{2^2}+\frac{y^2}{1^2}=1\to \frac{x^2}{4}+y^2=1[/tex3].

Intersecção da parábola com o semi-eixo positivo [tex3]Oy[/tex3]: [tex3]0+\frac{y^2}{1}=1\to y=1[/tex3]. Esse ponto [tex3](0,1)[/tex3] é o vértice da parábola [tex3]y=ax^2+bx+c[/tex3], ou seja:

[tex3]x_v=\frac{-b}{2a}=0\\\\b=0[/tex3]

Substituindo o ponto na equação:

[tex3]1=c[/tex3]

Também passa por [tex3]F_2[/tex3], logo, substituindo os pontos:

[tex3]0=3a+1\\\\a=-\frac{1}{3}[/tex3]

A parábola é: [tex3]y=-\frac{1}{3}x^2+1[/tex3]

Basta agora fazer a intersecção da parábola e da elipse:

[tex3]\frac{x^2}{4}+y^2=1\\\\\frac{x^2}{4}+(-\frac{1}{3}x^2+1)^2=1\\\\\frac{x^2}{4}+1-\frac{2x^2}{3}+\frac{x^4}{9}=1\\\\x^2=k\\\\\frac{-5k}{12}+\frac{k^2}{9}=0\\\\k=0\,\,ou\,\,k=\frac{15}{4}\Rightarrow x=0\,\,ou\,\,x=\frac{\sqrt{15}}{2}\,\,ou\,\,x=-\frac{\sqrt{15}}{2}[/tex3]

Substituindo os valores de [tex3]x[/tex3] em qualquer uma das equações, temos, respectivamente:

[tex3]y=1\,\,ou\,\,y=-\frac{1}{4}\,\,ou\,\,y=-\frac{1}{4}[/tex3]

Temos então:

[tex3]\boxed{S=\begin{Bmatrix}(0,1);\left(\frac{\sqrt{15}}{2},-\frac{1}{4}\right);\left(-\frac{\sqrt{15}}{2},-\frac{1}{4}\right)\end{Bmatrix}}[/tex3]

O ponto [tex3](0,1)[/tex3] não está no gabarito pois já está no enunciado.

Abraço.