IME / ITA ⇒ (Colégio Naval - 2001) Áreas

[led]

As diagonais [tex3]AC, BD, CE, DF, EA[/tex3] e [tex3]FB[/tex3] de um hexágono regular [tex3]ABCDEF[/tex3] interceptam-se formando outro hexágono [tex3]A'B'C'D'E'F'[/tex3], conforme a figura abaixo. Qual a razão entre as áreas do maior e a do menor hexágono?

hexaagono.png (11.32 KiB) Exibido 2124 vezes

[Birnebaum]

Olá Led,
Observe que as diagonais do hexágono maior correspondem ao lado de de um truângulo equilátero inscrito (LV3).
Veja também que o lado do hexagono menor é a terça parte do lado desse triângulo.

È sabido que a razão entre as áreas de polígonos semelhantes é igual ao quadrado da razão de semelhança dos lados homólogos.
Então calcule o quadrado da razão entre os lados e terá a razão pedida.

Penso que seja isso.

Bb

[Marcos]

Olá led.Observe a solução:

(Colégio Naval - 2001) Áreas.gif (7.92 KiB) Exibido 1994 vezes

Seja o hexágono[tex3]_{ABCDEF}[/tex3] inscrito em uma circunferência de raio [tex3]R[/tex3], então o lado do hexágono é igual a [tex3]R[/tex3].
Os triângulos [tex3]AA'F'[/tex3], [tex3]BA'B'[/tex3], [tex3]CB'C'[/tex3], [tex3]DC'D'[/tex3], [tex3]ED'E'[/tex3], [tex3]FE'F'[/tex3] são triângulos equiláteros congruentes.Logo, [tex3]BB'=B'C'=C'D[/tex3].
A corda [tex3]BD[/tex3] é o lado do triângulo equilátero inscrito na circunferência de raio [tex3]R[/tex3], então:

[tex3]BD=3x=R.\sqrt{3}[/tex3][tex3]\Rightarrow[/tex3][tex3]x=\frac{R.\sqrt{3}}{3}[/tex3]

e o lado do hexágono regular[tex3]_{A'B'C'D'E'F'}[/tex3] é igual [tex3]\frac{R.\sqrt{3}}{3}[/tex3]

Os dois hexágonos regulares são polígonos semelhantes, portanto a razão entre suas áreas é igual ao quadrado da razão de semelhança.Assim, temos:

[tex3]\frac{S_{ABCDEF}}{S_{A'B'C'D'E'F'}}=(\frac{R}{\frac{R.\sqrt{3}}{3}})^{2}[/tex3]

[tex3]\boxed{\boxed{\frac{S_{ABCDEF}}{S_{A'B'C'D'E'F'}}=3}}[/tex3]

[tex3]\ast[/tex3] Qual a razão entre as áreas do maior e a do menor hexágono [tex3]\Longrightarrow[/tex3] [tex3]3[/tex3]

Resposta:[tex3]3[/tex3].