Maratonas de Física ⇒ III Maratona de Física IME/ITA

[FilipeCaceres]

Solução do Problema 59

Sabemos que
[tex3]\eta =\frac{W_{BC}+W_{CD}+W_{DA}+W_{AB}}{Q_{BC}}[/tex3]

Onde,
[tex3]\overline{BC}:[/tex3] Isobárica
[tex3]W_{BC}=p\Delta V =nR(T_C-T_B)=n(C_p-C_v)(T_C-T_B)[/tex3]

[tex3]\overline{CD}:[/tex3] Adiabática
[tex3]W_{CD}=nC_v(T_D-T_C)[/tex3]

[tex3]\overline{DA}:[/tex3] Isovolumétrica
[tex3]W_{DA}=0[/tex3]

[tex3]\overline{AB}:[/tex3] Adiabática
[tex3]W_{AB}=nC_v(T_B-T_A)[/tex3]

O calor recebido vale
[tex3]Q_{BC}=nC_p(T_C-T_B)[/tex3]

Assim temos,
[tex3]\eta =\frac{n(C_p-C_v)(T_C-T_B)+nC_v(T_D-T_C)+0+nC_v(T_B-T_A)}{nC_p(T_C-T_B)}[/tex3]
[tex3]\eta =\frac{C_p(T_C-T_B)-C_v(T_D-T_A)}{C_p(T_C-T_B)}=1-\frac{C_v(T_D-T_A)}{C_p(T_C-T_B)}[/tex3]

Mas [tex3]\frac{C_p}{C_v}=\gamma[/tex3]

Então,
[tex3]\boxed{\eta=1-\frac{1}{\gamma}\left(\frac{T_D-T_A}{T_C-T_B}\right)}[/tex3]. CQD

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Problema 60

(IME - 2004/2005) Considere um elétron de massa [tex3]m[/tex3] e carga [tex3]^-e[/tex3], que se move com velocidade [tex3]\vec{v}[/tex3] conforme indicado na figura abaixo. No instante [tex3]t = 0[/tex3] é ligado um campo magnético [tex3]\vec{B}[/tex3] uniforme em todo o espaço. Desprezando a ação da gravidade, determine:
a) O trabalho realizado pela força magnética após um intervalo de tempo [tex3]\Delta t[/tex3].
b) O período do movimento no plano perpendicular a [tex3]\vec{B}[/tex3] .
c) A trajetória seguida pelo elétron, graficamente.

IME_2004-05.png (2.94 KiB) Exibido 5796 vezes

Resposta

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a)[tex3]W=0[/tex3]
b)[tex3]T=\frac{2\pi m}{eB}[/tex3]
c)O elétron percorre uma hélice cilíndrica.

[theblackmamba]

Solução do Problema 60

a)
A força magnética é perpendicular a velocidade, portanto o trabalho [tex3]\boxed{W=0}[/tex3].

b)
No movimento a força magnética é a força centrípeta:
[tex3]Bqv\sin \theta =\frac{mv^2}{R}[/tex3]
[tex3]Be R\sin\theta=mv[/tex3]. Mas temos que [tex3]v=\frac{2\pi R}{T}[/tex3]
[tex3]Be R\sin \theta=\frac{2\pi mR}{T}[/tex3]. Para [tex3]\theta=90^{\circ}[/tex3]
[tex3]\boxed{T=\frac{2\pi m}{Be}}[/tex3]

c)
Quando a partícula é lançada no campo teremos uma componente da velocidade [tex3]v_y[/tex3] paralela as linhas de campo magnético e uma componente [tex3]v_x[/tex3] perpendicular ao campo. Esta última a força magnética e a força centrípeta, causando um movimento circular uniforme. Na primeira a força magnética é nula, então a partícula se movimenta com velocidade constante.
O movimento de uma carga sujeita a um campo magnético é uma trajetória helicoidal (hélice cilíndrica).

helice-cilindrica.jpg (46.5 KiB) Exibido 5774 vezes

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Problema 61

(IME - 2005/06) Uma partícula parte do repouso no ponto A e percorre toda a extensão da rampa ABC, mostrada na figura abaixo.; A equação que descreve a rampa entre os pontos A, de coordenadas [tex3](0,h)[/tex3] e B, de coordenada [tex3](h,0),[/tex3] é

[tex3]y=\frac{x^2}{h}-2x+h[/tex3]

enquanto entre os ponto B e C, de coordenadas [tex3](h,2r)[/tex3], a rampa é descrita por uma circunferência de raio r com centro no ponto de coordenadas [tex3](h,r)[/tex3]. Sabe-se que a altura [tex3]h[/tex3] é a mínima necessária para que a partícula abandone a rampa no ponto C e venha colidir com ela em um ponto entre A e B. Determine o ponto de colisão da partícula com a rampa no sistema de coordenadas da figura como função apenas do comprimento [tex3]r[/tex3].

ime_05-06_fia_disc.png (6.67 KiB) Exibido 5774 vezes

Dado: aceleração da gravidade = [tex3]g[/tex3].
OBS: despreze as forças de atrito e a resistência do ar

Resposta

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[tex3]\left(\frac{15-4\sqrt{5}}{6}r,\frac{8}{9}r\right)[/tex3]

[FilipeCaceres]

Solução do Problema 61

Da conservação de energia temos:
[tex3]Emec_A =Emec_C[/tex3]
[tex3]mgh = mg(2r) +\frac{mv^2}{2}[/tex3]

No ponto C temos:
[tex3]F_r=ma_{cp}[/tex3]
[tex3]P+N=\frac{mv^2}{r}[/tex3]

Como a partícula abandona no ponte C, temos que [tex3]N=0[/tex3]
[tex3]mg+0=\frac{mv^2}{r}[/tex3]
[tex3]v^2=gr[/tex3]

Assim temos,
[tex3]mgh = mg(2r) +\frac{mgr}{2}[/tex3]
[tex3]\boxed{h=\frac{5r}{2}}[/tex3]

Equações horárias,
[tex3]\begin{cases}
y=2r-gt^2 \\
x=h-vt
\end{cases}[/tex3]

Isolando [tex3]t[/tex3] e substituindo
[tex3]y=2r-g\left(\frac{h-x}{v}\right)^2=2r-g\left(\frac{h^2-2hx+x^2}{v^2}\right)[/tex3]
[tex3]y=2r-\frac{25r^2-20rx+4x^2}{8r}[/tex3]

Igualando com a equação dada
[tex3]2r-\frac{25r^2-20rx+4x^2}{8r}=\frac{2 x^2}{5r}-2x+\frac{5r}{2}[/tex3]

Arrumando,
[tex3]36x^2-180rx+145r^2=0[/tex3]
[tex3]x =\frac{(15+4\sqrt{5})r}{6}[/tex3], não serve pois é maior que [tex3]\frac{5r}{2}[/tex3].
[tex3]\boxed{x =\frac{(15-4\sqrt{5})r}{6}}[/tex3]

Logo,
[tex3]y=\frac{2}{5r}\left(\frac{(15-4\sqrt{5})r}{6}\right)^2-2\left(\frac{(15-4\sqrt{5})r}{6}\right)+\frac{5r}{2}[/tex3]
[tex3]\boxed{y=\frac{8r}{9}}[/tex3]

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Problema 62

(IME - 2004/2005) Um fio condutor rígido [tex3]PQR[/tex3], dobrado em ângulo reto, está ortogonalmente inserido em um campo magnético uniforme de intensidade [tex3]B=0,40 T[/tex3]. O fio está conectado a dois circuitos, um resistivo e o outro capacitivo. Sabendo que o capacitor [tex3]C_1[/tex3] está carregado com [tex3]40\, \mu C[/tex3], determine a intensidade da força de origem magnética que atuará sobre o fio [tex3]PQR[/tex3] no instante em que a chave [tex3]K[/tex3] for fechada.
Dados: [tex3]C_1=1\, \mu F,\, C_2=2\, \mu F\, e\, C_3=6\, \mu F[/tex3].

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Resposta

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[tex3]20N[/tex3]

[theblackmamba]

Solução do Problema 62

Com a chave aberta vamos achar a carga total e depois calcular as tensões nos terminais dos capacitores:

Como [tex3]C_1 //C_2[/tex3] a ddp é constante:

[tex3]U_1=U_2=\frac{Q_1}{C_1}=\frac{Q_2}{C_2}[/tex3]
[tex3]\frac{40 \mu}{1\mu}=\frac{Q_2}{2\mu}\,\,\Rightarrow\,\,Q_2=80\mu\,C[/tex3]

Logo a carga de [tex3]C_1//C_2[/tex3] é [tex3]40\mu+80\mu=120\mu \,\,C[/tex3]. De modo que o equivalente de [tex3]C_1\\C_2[/tex3] está em série com [tex3]C_3[/tex3], logo este possui a mesma carga [tex3]Q_3=120\mu\,C[/tex3].

[tex3]U_3=\frac{120\mu}{6\mu}=20\,V[/tex3]
[tex3]U_1=U_2=\frac{40\mu}{1\mu}=40\,V[/tex3]

Logo a tensão entre os terminais do circuito capacitivo é [tex3]U_3=20\,V[/tex3].

No circuito resistivo os três resistores estão em paralelo, logo [tex3]\frac{1}{R_{eq}}=\frac{1}{4}+\frac{1}{6}+\frac{1}{12}\,\,\Rightarrow\,\,R_{eq}=2\Omega[/tex3]

E a corrente no circuito: [tex3]i=\frac{20}{2}=10\,A[/tex3]

Pela Regra da mão direita a força magnética na parte RQ é parte a direita perpendicular ao fio e na parte PQ a força é para baixo perpendicular ao fio.

[tex3]F_{RQ}=Bi \ell_{RQ}=0,40\cdot 10\cdot 4=16\,N[/tex3]
[tex3]F_{PQ}=Bi\ell_{PQ}=0,40\cdot 10\cdot 3=12\,N[/tex3]

Como as forças são perpendiculares aplicamos Pitágoras para achar a força resultante:
[tex3]F=\sqrt{16^2+12^2}[/tex3]
[tex3]\boxed{F=20\,N}[/tex3]

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Problema 63

(IME - 2004/05) Determine a ordenada [tex3]d[/tex3] de um ponto P, localizado sobre a lente convergente de distância focal [tex3]6\,cm[/tex3], no qual deve ser mirado um feixe de laser disparado no ponto A, com o intuito de sensibilizar um sensor ótico localizado no ponto B. Considere válidas as aproximações de Gauss.

ime_fis_04-05_disc_q6.png (16.14 KiB) Exibido 5735 vezes

Resposta

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[tex3]d=0,05\,cm[/tex3]

[FilipeCaceres]

Solução do Problema 63

A imagem do objeto será formada em:
[tex3]\frac{1}{i}+\frac{1}{p}=\frac{1}{f}[/tex3]
[tex3]i=\frac{p\cdot f}{p-f}[/tex3]
[tex3]i=\frac{4\cdot 6}{4-6}=-12\,cm[/tex3] Virtual

Com magnificação de:
[tex3]m=-\frac{i}{p}=-\frac{-12}{4}=4\,cm[/tex3] Direta e maior.

Ou seja, a imagem será formada atrás do objeto.

IME_2004-2005.png (4.68 KiB) Exibido 5691 vezes

Da figura temos que
[tex3]\frac{3+2,4}{12+10}=\frac{d+2,4}{10}[/tex3]
[tex3]\frac{5,4}{22}=\frac{d+2,4}{10}[/tex3]
[tex3]\boxed{d=0,055\,cm}[/tex3]

Com esta questão finalizamos a III Maratona de Física.

Um forte abraço e bons estudos.