Ensino Superior ⇒ Álgebra Abstrata - Raízes de um Polinômio Tópico resolvido

[Ruskley]

1 - Seja K um corpo. A derivada de um polinômio [tex3]p(x)=a_0+a_1x+a_2x^2+...+a_nx^n \in K[x][/tex3] e definida como polinômio [tex3]p'(x)=a_1+2a_2x+3a_3x^2+...+na_nx^{n-1} \in K[x][/tex3]. Mostre que [tex3]\alpha \in K[/tex3] é uma raiz múltipla de [tex3]p[/tex3] se, somente se, [tex3]\alpha[/tex3] é uma raiz de [tex3]p[/tex3] e tambem é uma raiz de [tex3]p'[/tex3].

Pessoal a ajuda q vinher sera muito bem vinda...

Desde ja agradeço

[danmat]

Olá Ruskley,

Primeiramente, devo alertá-lo que você deve enviar uma dúvida por tópico... Dessa forma irei responder sua primeira dúvida, poste as demais em tópicos separados...

Sejam

[tex3]p(x) = a_0 + a_1 x + \cdots + a_n x^n[/tex3]

[tex3]p'(x) = a_1 + \cdots + n \cdot a_n \cdot x^{n-1}[/tex3]

Polinômios sobre o corpo [tex3]K[/tex3]. Desejamos provar que

[tex3]\alpha[/tex3] é uma raiz múltipla de [tex3]p(x)[/tex3] se, e somente se, [tex3]\alpha[/tex3] é uma raiz de [tex3]p(x)[/tex3] e de [tex3]p'(x)[/tex3].

Prova:
[tex3](\Rightarrow)[/tex3]

Assumimos que [tex3]\alpha[/tex3] é raiz múltipla de [tex3]p(x)[/tex3], então, sendo [tex3]n > 1, n \in N[/tex3],

[tex3]p(x) = q_1(x) \cdot (x - \alpha)^n = q_1(x) \cdot (x-\alpha)^{n-1} \cdot (x-\alpha) = q_2 \cdot (x-\alpha)[/tex3]

Com [tex3]q_2 = q_1(x) \cdot (x-\alpha)^{n-1}[/tex3].

Logo [tex3]\alpha[/tex3] é raiz de [tex3]p(x)[/tex3]. Além disso, temos

[tex3]p'(x) = q_1'(x) \cdot (x-\alpha)^n + q_1 \cdot n(x-\alpha)^{n-1}[/tex3]

[tex3]p'(x)= [q'_1 \cdot (x-a)^{n-1} + q_1 \cdot n \cdot (x-\alpha)^{n-2}] \cdot (x-\alpha)[/tex3]

[tex3]p'(x) = q_3 \cdot (x-\alpha)[/tex3]

Com [tex3]q_3 = q'_1 \cdot (x-a)^{n-1}+ q_1 \cdot n \cdot (x-a)^{n-2}[/tex3]

Logo [tex3]\alpha[/tex3] é raiz de [tex3]p'(x)[/tex3].

[tex3](\Leftarrow)[/tex3]

Assumimos que [tex3]\alpha[/tex3] é raiz de [tex3]p(x)[/tex3] e raiz de [tex3]p'(x)[/tex3], logo

[tex3]p(x) = q(x) \cdot (x-\alpha)[/tex3] e [tex3]p'(x) = q'(x) \cdot (x-\alpha) + q = q_1 \cdot (x-\alpha)[/tex3]

Disso decorre que

[tex3]q = q_1 (x-\alpha) - q' (x-\alpha) = (q_1 - q') \cdot (x-\alpha)[/tex3]

Substituindo

[tex3]p(x) = q(x) \cdot (x-\alpha) = (q_1 - q') \cdot (x-\alpha)^2[/tex3]

Logo, [tex3]\alpha[/tex3] é raiz múltipla de [tex3]p(x)[/tex3]. QED

Certo?!

[Ruskley]

Ok... vou fazer isso... vou mandar uma questão por tópico..

mais uma vez obrigado