Ensino Superior ⇒ Coordenada Polar - Volume por Integral Dupla

[raimundojr]

Caso alguém possa me ajudar, eu agradeço.


(Livro: Cálculo - Autor: James Stewart - Volume 2 - 7ª Edição - Q. 25 - Pág.: 900)
Utilize coordenadas polares para determinar o volume do sólido dado.
Acima do cone [tex3]z=\sqrt{x^2+y^2}[/tex3] e abaixo da esfera x²+y²+z²=1.


Comentário:
Integral Dupla ("Teorema de Fubini"):
Se [tex3]\int_{a}^{b}f(x, y)dx=\alpha[/tex3], então [tex3]\int_{c}^{d} \int_{a}^{b}f(x, y)dxdy=\int_{c}^{d}\alpha \cdot dy[/tex3].

[Vinisth]

Olá raimundojr,

Encontrando o raio :
[tex3]x^2+y^2+z^2=1 \\ x^2+y^2+(\sqrt{x^2+y^2})^2=1 \\\boxed{x^2+y^2=\frac{1}{2}}[/tex3]

Calculando a integral :
[tex3]\int_0 ^{2\pi} \int_0 ^{1 \over \sqrt{2}} (\sqrt{1-r^2}-r)r \ dr \ d\theta=\boxed{\frac{2 \pi}{3}(1-\sqrt{2})}[/tex3]

Abraço !

[raimundojr]

Muito obrigado!