Ensino Superior ⇒ Álgebra Abstrata - mdc de um Polinômio Tópico resolvido

[Ruskley]

1 - Seja p [tex3]\in[/tex3] C[x] um polinômio tal que p(i)= 2 e p(-i)= 2. Ache o resto da divisão do polinômio p(x) por x²+1.

Pessoal, a ajuda que vier será muito bem vinda...

Desde já agradeço

[Cássio]

Olá.

Creio que algumas propriedades válidas para os polinômios reais valham para os complexos, não? Como por exemplo, o grau do resto é sempre menor que o do divisor.

Se for assim, o resto deve ser um polinômio na forma [tex3]r(x)=ax+b,\ \ \ a, b \in\mathbb{C}.[/tex3]

Daí, sendo [tex3]p(x)=(x^2+1)q(x)+r(x)=(x^2+1)q(x)+(ax+b)[/tex3] temos [tex3]p(i)=2\iff (i^2+1)q(i)+ai+b=2\iff ai+b=2;\\ \ \\ \ \\
p(-i)=2\iff ((-i)^2+1)q(-i)+a(-i)+b=2\iff -ai+b=2\ \\ \ \\ \ \\
\Rightarrow ai+b=-ai+b\iff a=0\Rightarrow b=2.[/tex3]

Então o resto é o polinômio constante igual a 2.

[Ruskley]

Obrigadão... vlw mesmo