Pré-Vestibular ⇒ Soma de dois números Tópico resolvido

[paulo testoniMOD]

O número [tex3]2^{8022} + 1[/tex3] é igual ao produto de dois números cuja soma é igual a:

a) [tex3]2^{4010} + 2[/tex3]
b) [tex3]2^{4011} + 2[/tex3]
c) [tex3]2^{4012} + 2[/tex3]
d) [tex3]2^{4013} + 2[/tex3]
e) [tex3]2^{4014} + 2[/tex3]

[Karl Weierstrass]

Seja a identidade

[tex3]\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,a^4 + 4b^4 = (a^2 + 2ab + 2b^2)(a^2 - 2ab + 2b^2)[/tex3]

Então, se [tex3]a = 1[/tex3] e [tex3]b = 2^{2005}[/tex3], obtemos [tex3]1+2^{8022}[/tex3].

Logo,

[tex3]\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,1+2^{8022}=\underbrace{(1+2^{2006}+2^{4011})}_x\underbrace{(1-2^{2006}+2^{4011})}_y[/tex3]

[tex3]\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,x+y=2^{4012}+2[/tex3]





[tex3]\,[/tex3]

[fabit]

O Karl é muito fera mesmo!

Mas quero registrar meu protesto contra o enunciado. A forma de fatorar pode conduzir a outras respostas tais como [tex3]2^{5348}+2[/tex3] (usando soma de cubos) ou simplesmente [tex3]2^{8022}+2[/tex3] (usando n=n.1).

Pior: o enunciado nem restringiu a questão aos números naturais. Aí já viu.

Tinha que escrever algo assim: Dentre as alternativas abaixo, aquela que pode ser a soma de um par de números naturais cujo produto é ..., é: e aí sim fica bm amarrado.

Abraço

[Chris]

O Karl é muito fera mesmo!

Mas quero registrar meu protesto contra o enunciado. A forma de fatorar pode conduzir a outras respostas tais como [tex3]2^{5348}+2[/tex3] (usando soma de cubos) ou simplesmente [tex3]2^{8022}+2[/tex3] (usando n=n.1).

Pior: o enunciado nem restringiu a questão aos números naturais. Aí já viu.

Tinha que escrever algo assim: Dentre as alternativas abaixo, aquela que pode ser a soma de um par de números naturais cujo produto é ..., é: e aí sim fica bm amarrado.

Abraço

Desculpa, mas essas que você escreveu não são iguais ao número dado no enunciado... não entendi o seu momento de revolta...

[fabit]

Eu é que peço desculpas pela minha obscuridade:

Por exemplo, aquilo que o Karl chamou de x poderia ser 1 e o que ele batizou de y poderia ser o próprio número [tex3]2^{8022}+1[/tex3]

Aí a soma x + y dá [tex3]2^{8022}+2[/tex3]

Outro exemplo: [tex3]x=2^{2674}+1[/tex3] e [tex3]y=2^{5348}-2^{2674}+1[/tex3] são tais que xy dá o número e x+y dá outra coisa fora das alternatias.

É isso.

Abraço

[Karl Weierstrass]

Esse problema está no livro do Ghandi (Antonio Luiz Santos). O fabit está correto.

Além do problema não apresentar a fonte (provavelmente é um problema olímpico), deve ter sido adaptado para teste. E o Ghandi deve ter se perdido nas restrições.

[fabit]

Eu conheço um Ghandi professor de Matemática. Acho que vocês são do Rio, né?

Que saudade!