Ensino Superior ⇒ Integral Iterada de Seis Modos Diferentes Tópico resolvido

[raimundojr]

(Livro: Cálculo - Autor: James Stewart - Volume 2 - 7ª Edição - Q. 32 - Pág.: 921)
Expresse a integral [tex3]\iiint_E f(x, y, z)dV[/tex3] como uma integral iterada de seis modos diferentes, onde E é o sólido limitado pelas superfícies dadas.
[tex3]x=2\\ y=2\\ z=0\\ x+y-2z=2[/tex3]

[emanuel9393MOD]

Olá, raimundo!

Veja bem. A ideia é esboçar o sólido de integração e escrever a integral iterada considerando sempre um plano coordenado diferente (para cada plano coordenado existem duas formas de escrever a integral iterada). Logo:
Com projeção no plano [tex3]xy[/tex3]:

[tex3]\int_0^2\int_{2-y}^2\int_0^{\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}y-1}f\left(x,y,z\right)dzdxdy\\\int_0^2\int_{2-x}^2\int_0^{\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}y-1}f\left(x,y,z\right)dzdydx[/tex3]

Com projeção no plano [tex3]zy[/tex3]:

[tex3]\int_0^2\int_{o}^{\frac{1}{2}y}\int_2^{2+2z-y}f\left(x,y,z\right)dxdzdy\\\int_0^2\int_{2z}^2\int_2^{2+2x-y}f\left(x,y,z\right)dxdydz[/tex3]

Com projeção no plano [tex3]zx[/tex3]:

[tex3]\int_0^2\int_{0}^{\frac{1}{2}x}\int_2^{2+2z-x}f\left(x,y,z\right)dydzdx\\\int_0^1\int_{2z}^2\int_2^{2+2z-x}f\left(x,y,z\right)dydxdz[/tex3]

Grande abraço!

[raimundojr]

Obrigado por responder. Obtive as integras abaixo. Poderia confirmar o resultado diferente de algumas? Às integrais:
Plano xy:

(1)[tex3]\int_{0}^{2}\int_{2-x}^{2}\int_{0}^{\frac{x+y-2}{2}} f(x, y, z)dzdydx[/tex3]

(2)[tex3]\int_{0}^{2}\int_{2-y}^{2}\int_{0}^{\frac{x+y-2}{2}} f(x, y, z)dzdxdy[/tex3]

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Plano yz:

(3)[tex3]\int_{0}^{2}\int_{0}^{\frac{y}{2}}\int_{2z-y+2}^{2} f(x, y, z)dxdzdy[/tex3]

Sobre a variação de cada superfície, eu pensei no sentido positivo de cada eixo (abscissa, ordenada e cota),ou seja, como os "números crescem" no decorrer dos eixos, sendo assim o plano x=2z-y+2 "vem primeiro" em relação a x=2. Isso vai acontecer também em (4), (5) e (6).

(4)[tex3]\int_{0}^{1}\int_{2z}^{2}\int_{2z-y+2}^{2} f(x, y, z)dxdydz[/tex3]

Acho que você se enganou com a variação da componente z em (4). Na equivalente dxdydz, a "variação superior para x" é 2+2x-y? - postagem anterior

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Plano xz:

(5)[tex3]\int_{0}^{2}\int_{0}^{\frac{x}{2}}\int_{2z-x+2}^{2} f(x, y, z)dydzdx[/tex3]

(6)[tex3]\int_{0}^{1}\int_{2z}^{2}\int_{2z-x+2}^{2} f(x, y, z)dydxdz[/tex3]

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