Ensino Superior ⇒ Serie infinita Tópico resolvido

[verga]

Seja a série [tex3]f_n (x) = \sqrt {1+\sqrt{1+2 \sqrt {1+3 \sqrt {\ldots \sqrt {1+n \sqrt {x} } } } } }[/tex3]. Calcule :
[tex3]\lim_{n \to \infty} f_n(x)[/tex3]

[Vinisth]

Ramunajan descobriu que :
[tex3]x+n+a=\sqrt{ax + (n+a)^2 +x\sqrt{a(x+n)+(n+a)^2 +(x+n)\sqrt{...}}}[/tex3]
Com [tex3]a = 0[/tex3] e [tex3]n=1[/tex3], nos dá :

[tex3]x+1=\sqrt{1+x\sqrt{1 + (x+1)\sqrt{1 + (x+2)\sqrt{1 + (x+2)\sqrt{...}}}}}[/tex3], com [tex3]x =2[/tex3]
[tex3]3=\sqrt{1+2\sqrt{1+3 \sqrt{1+ 4\sqrt{1+\cdots}}}}[/tex3]

Por comparação de radicais temos :
[tex3]f_n (x) = \sqrt {1+\sqrt{1+2 \sqrt {1+3 \sqrt {\ldots \sqrt {1+n \sqrt {x} } } } } } \\ \\ = \sqrt{1+3}=\boxed{2}[/tex3]

Abraço !