Ensino Superior ⇒ Integral Tripla - Volume de Sólido

[raimundojr]

Fiz esse exercício, mas não tenho o gabarito, então gostaria de confirmar minha resolução com outros membros.


(Livro: Cálculo - Autor: James Stewart - Volume 2 - 7ª Edição - Q. 20 - Pág.: 920)
Use a integral tripla para determinar o volume do sólido dado.
O sólido limitado pelos paraboloides y-x²+z² e y=8-x²-z²


Resolução:
Calcular o volume do sólido limitado pelos paraboloides dados, é o mesmo, em termos numéricos, que calcular o volume limitado pelos seguintes paraboloides: z=x²+y² e z=8-x²-y². O valor correspondente às unidades de volume é exatamente igual. Além disso, a forma como é apresentada as equações lembra as coordenadas cilíndricas, então será feito essa substituição. Antes, é importante determinar o conjunto ao qual será feita a integração. A ideia partirá de encontrar a interseção entre as superfícies:

Se z=z, então x²+y²=8-x²-y². Implica que 2x²+2y²=8, e portanto x²+y²=2². Esta última equação representa a circunferência de centro na origem e raio valendo 2 unidades.

Porém, em termos de domínio da função, tem-se que considerar o seguinte círculo:
[tex3]0\leq x^2+y^2\leq 2^2[/tex3]

Mudança de Variável na Integral Tripla:
[tex3]\iiint_E f(x, y, z) dxdydz=\iiint_{E_{uvw}} f(\phi(u, v, w))\begin{vmatrix}\frac{\partial(x, y, z)}{\partial(u, v, w)}\end{vmatrix}dudvdw[/tex3]

Onde: [tex3]\begin{vmatrix}\frac{\partial(x, y, z)}{\partial(u, v, w)}\end{vmatrix}[/tex3] é o módulo do determinante jacobiano.

Para o caso em específico feito por coordenadas cilíndricas:
[tex3]\iiint_E dxdydz=\iiint_{E_{\theta\rho z}} \rho d\theta d\rho dz[/tex3]

Imagine que o ângulo [tex3]\theta[/tex3] formado com o eixo das abscissas irá percorrer todos os ângulos para gerar o sólido que estamos calculando o volume, então [tex3]0\leq \theta \leq 2\pi[/tex3]. Para o caso de [tex3]\rho[/tex3]: [tex3]0\leq \theta \leq 2[/tex3]. A "componente z" irá de uma superfície a outra, ou seja, de [tex3]z=x^2+y^2[/tex3] até [tex3]z=8-x^2-y^2[/tex3]. Mas, em coordenadas cilíndricas: [tex3]z=\rho^2[/tex3] até [tex3]z=8-\rho^2[/tex3].

Coordenadas Cilíndricas:
[tex3]\left\{\begin{matrix}x=\rho cos\theta\\ y=\rho sen\theta\\ z=z\end{matrix}\right.[/tex3]

Integral Tripla:
[tex3]\int_0^2\int_0^{2\pi}\int_{\rho^2}^{8-\rho^2}\rho dz d\theta d\rho=16\pi[/tex3] unidades de volume

Passo-a-passo:
a) [tex3]\int_{\rho^2}^{8-\rho^2}\rho dz=\rho\int_{\rho^2}^{8-\rho^2} dz=\rho[(8-\rho^2)-(\rho^2)]=\rho(8-2\rho^2)=-2\rho^3+8\rho[/tex3]
b) [tex3]\int_0^{2\pi}(-2\rho^3+8\rho)d\theta=-2\rho^3+8\rho(2\pi-0)=-4\pi\rho^3+16\pi\rho[/tex3]
c) [tex3]\int_0^2(-4\pi\rho^3+16\pi\rho)d\rho=4\pi[-\frac{\rho^4}{4}+2\rho^2]_0^2=16\pi[/tex3]

[raimundojr]

Vou fazer essa postagem em caráter extraordinário já que não posso editar a mensagem anterior. Gostaria de saber os motivos que levam os moderadores (uma falta de educação) a alteram as mensagens dos membros (quando tais mensagens cumprem com todas as regras do fórum). Uma vez colocaram LaTeX em algo completamente legível, e dessa vez alteraram o título que não tinha nem mesmo problema gramatical.


Nota sobre a questão: O sólido limitado pelos paraboloides y=x²+z² e y=8-x²-z²

[Vinisth]

Melhoraria se víssemos o que foi mudado e se foi conveniente também a mudança,e seria melhor se nós editássemos qualquer hora que quisermos, mas depois de postado não tem como fazer nada quase. Foda isso !
Não vi problema na sua solução ! Abraço ! : )

[ManUtd]

Concordo com a idéia de poder alterar os tópicos qualquer hora.