Ensino Médio ⇒ Equação matricial Tópico resolvido

[larissam]

Se x e y são números naturais tais que det(xA.yB)=2160, em que A e B são matrizes quadradas de ordem 3, e tais que det A=2 e det B=5, então x+y pode valer?

a)4
b)6
c)7
d)9
e)10

[PedroCunha]

Veja:

[tex3]\det(x \cdot A \times y \cdot B) = 2160 \therefore \underbrace{\det (x \cdot A) \cdot \det (y \cdot B)}_\text{Matrizes quadradadas de ordem 3} = 2160 \therefore \\\\\\\\ x^3 \cdot \det A \times y^3 \cdot \det B = 2160 \therefore 2x^3 \times 5y^3 = 2160 \therefore 10 \cdot (xy)^3 = 2160 \therefore \\\\ (xy)^3 = 216 \therefore xy = 6[/tex3]

Possibilidades:

[tex3]\begin{cases}x =1, y = 6 \rightarrow x + y = 7 \\
x = 2, y = 3 \rightarrow x + y = 5 \\
x = 3, y =2 \rightarrow x + y = 5 \\
x = 6 , y = 1 \rightarrow x + y = 7 \end{cases}[/tex3]
Logo, observando as alternativas, vemos que a única correta é a Alternativa c .

Att.,
Pedro

[larissam]

Pedro,eu pensei que como det A=2 e det B=5,
x³.det A.y³.det B=2160
x³.2.y³.5=2160
10.x³.y³=2160
x³.y³=216

Decompondo percebemos que 216=2³.3³
E daí 2+3=5

mas essa resposta nem está nas alternativas!
enfim, não entendi porque o dez tem que ser elevado a ^3 junto com o x e o y

[PedroCunha]

Não tem. Aquilo foi erro de digitação. Vou corrigir. E veja que: [tex3]x^3 \cdot y ^3 = (xy)^3[/tex3]. Logo [tex3]xy = 6[/tex3]. O resto é o que fiz.

Att.,
Pedro

[larissam]

Tá bem, muito obrigada!