Física I ⇒ (Unicamp/SP - 1994) Energia

[manuel]

Uma bola metálica cai da altura de 1,0 m sobre um chão duro. A bola repica no chão diversas vezes. Em cada colisão a bola perde no chão 20% da sua energia. Despreze a resistência do ar (g= 10 m/s²).

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a) Qual a altura máxima que a bola atinge após duas colisões (ponto A)
b) Qual a velocidade com que a bola atinge o chão na terceira colisão ?

Agradeceria ajuda para esta questão.

[Cientista]

Olá Manuel,
Reparando no enunciado é fácil ver que a velocidade pode ser encontrada pela equação de Torricelli dada por:
[tex3]V^{2} = V_{o}^{2} - 2.g.\Delta h[/tex3]
Então repara que a velocidade incial logicamente é nula, por essa razão procuramos a velocidade máxima ou seja final, e do enunciado nós podemos retirar a altura inicial, e também sabe-se que [tex3]\Delta h=h_{final}-h_{inicial}[/tex3] com bases nessas informações/dados temos que:

[tex3]V^{2} = 0^{2} - 2.(10).(h - h_{o})[/tex3]
[tex3]V^{2} = 0^{2} - 2.(10).(0 - 1)[/tex3]
[tex3]V^{2} = 20[/tex3]
[tex3]V=\sqrt{20}[/tex3] Então outro um dos aspectos que devemos ter em conta é que a energia cinética é dada por [tex3]E_{cinetica}=\frac{1}{2}.m.v^{2}[/tex3], então usando a velocidade final e substituindo na Energia Cinética tiramos que [tex3]E_{cinetica1}=10.m[/tex3], então 'facil ver que após essa primeira colisão da bola, a sua Energia Cinética será de [tex3]80[/tex3]% respectivamente uma vez que perde [tex3]20[/tex3]%, então transformando essa respectiva percentagem em um número "agradável de se usar" [tex3]E_{cinetica1}=0.8.E_{co}=8.m[/tex3] então repara que ficamos com certas incógnitas( o produto das massas com um valor), uma forma de eleminarmos ela é pensando assim: Se ele encontra-se subindo após a primeira colisão da bola, então isto quer dizer que a bola atingirá a sua primeira altura máxima quando toda a energia Cinética, dada por [tex3]E_{cinetica1}[/tex3] for transformada em Energia potêncial gravitica, então sabemos que ela é dada por [tex3]E_{p.g}=m.g.h[/tex3], então [tex3]E_{cinetica1}=m.g.h_{1}[/tex3] então [tex3]h_{1}=0,8m[/tex3]. Então consequentemente sua energia cinética dada por [tex3]E_{cinetica2}[/tex3] será [tex3]80[/tex3]% da que determinamos na primeira dada por [tex3]E_{cinetica1}[/tex3]
Logo [tex3]E_{cinetica2}=6,4.m[/tex3], aplicando o mesmo conceito da primeira colisão tiramos que [tex3]h_{max.}=0,64m[/tex3]. Analisando o caso de uma forma arbitrária, isto é, aplicando ela na prática podemos concluir que ela subiu, e atingiu uma altura de [tex3]0,64m[/tex3] e voltou a cair então é fácil notar que ela voltou com a mesma energia cinética com que subiu então a sua energia cinética ficou constante, isto é, continuo a ser [tex3]6,4.m[/tex3] então como pretendemos determinar a velocidade vamos para E.cinética de novo, então [tex3]6,4.m=\frac{m.v^{2}}{2}[/tex3] isolando a velocidade(V) temos que [tex3]v=\sqrt{12,8}\rightarrow v=3,6m/s[/tex3]. Então o que concluímos com isso tudo?
a)- Após a segunda colisão, a bola atinge a altura máxima de [tex3]0,64m[/tex3].
b)- Na terceira colisão, a bola atinge o solo com velocidade de [tex3]3,6m/s[/tex3].

[Natan]

Olá amigo,

Basearei minha solução na imagem abaixo. Sempre que falarmos em energia simplesmente estarei me referindo a energia mecânica.

f.gif (4.31 KiB) Exibido 8120 vezes

Sejam [tex3]E_B,\, E_C\, e\, E_D[/tex3] as energias dos pontos [tex3]B,\, C\, e\, D[/tex3] respectivamente. Como no ponto [tex3]B[/tex3] a energia é puramente potencial gravitacional temos [tex3]E_B=mgh.[/tex3]

Em uma situação ideal deveríamos ter [tex3]E_C=E_B[/tex3] pelo princípio da conservação da energia mecânica. Mas fomos informados que nessa situação a energia diminui em 20%, isto é:

[tex3]E_C=E_B-0,2.E_B=0,8.E_B[/tex3]

Da mesma forma, deveríamos ter [tex3]E_C=E_D.[/tex3] Porém mais 20% da energia é perdido. Assim:

[tex3]E_D=E_C-0,2.E_C=0,8.E_B-0,16.E_B=0,64.E_B[/tex3]

Observe porém que só é perdido energia nas colisões! Assim podemos dizer que de [tex3]D[/tex3] para [tex3]A[/tex3] a energia mecânica se conserva. Assim lembrando que [tex3]E_B=mgh[/tex3] e que em [tex3]C[/tex3] a energia mecânica é puramente potencial gravitacional, e chamando de [tex3]h^{'}[/tex3] a altura da bolinha ao atingir o ponto [tex3]A:[/tex3]

[tex3]E_D=E_A \\ 0,64.E_B=E_A \\ 0,64.mgh=mgh^{'}\, \Rightarrow\, h^{'}=0,64.h=0,64.1=0,64m[/tex3]

Para o próximo item, podemos usar que a energia se conserva entre os ponto [tex3]A[/tex3] e [tex3]E:[/tex3]

[tex3]E_A=E_E \\ mgh^{'}=\frac{mv^2}{2}\, \Rightarrow\, v=\sqrt{2gh^{'}}=\sqrt{2.10.0,64}=\sqrt{12,8}\, m/s[/tex3]

Espero ter ajudado

[Cientista]

Muito bom Natan!

[Natan]

Quando abri o tópico ele estava sem reposta alguma, ai quando enviei a minha a sua já estava na frente rsrs, acho que demorei um pouco a digitar.

[Cientista]

Não faz mal, isso ás vezes acontece comigo, cada um expressa-se da sua forma, então por mais que você diga que 1+1=2 eu posso dizer que raiz{1}+raiz{1}=2 dá no mesmo mas a expressão é diferente, talvez ele entenda melhor a sua explicação que a minha. No problems man..