Ensino Médio ⇒ Circunferência Inscrita no Triângulo Retângulo Tópico resolvido

[allanpaes_27]

Em um dado triângulo retângulo inscrevemos uma circunferência de diâmetro d e circunscrevemos outra de diâmetro D. O perímetro do triângulo vale:

a) d + D
b) 2d + D
c) d + 2D
d) 3/2 (d + D)
e) 2(d + D)

[fabit]

Seja ABC o triângulo retângulo em A (BC=hipotenusa).

Dois fatos:
1) BC=D, pois todo triângulo retângulo é inscrito num semicírculo. Quando circunscreveu-se o círculo de diâmetro D, um de seus diâmetros já é a hipotenusa.

2) Em todo triângulo retângulo, o raio [tex3]r[/tex3] do círculo inscrito mede [tex3]p-a[/tex3], onde [tex3]p[/tex3] é o semi-perímetro e [tex3]a[/tex3] é a medida da hipontenusa.
Para entender isso, faça uma figura do ABC, considerando os pontos de tangência do círculo inscrito: M em AB=[tex3]c[/tex3], N em AC=[tex3]b[/tex3] e P em BC=[tex3]a[/tex3].
Temos BM=BP, CN=CP e AM=AN, pois tangentes ao mesmo círculo traçadas do mesmo ponto são congruentes.
Por outro lado, como A é reto, o quadrilátero AMIN (I é o incentro) é um quadrado de lado [tex3]r[/tex3]. Logo, AM=AN=[tex3]r[/tex3]. Como o perímetro é [tex3]2p=2r+BM+BP+PC+CN=2r+2BP+2PC=2r+2a[/tex3], temos [tex3]2r=2p-2a[/tex3] e aí [tex3]r=p-a[/tex3].

A penúltima forma ([tex3]2r=2p-2a[/tex3]) resolve nosso problema, pois procuramos [tex3]2p[/tex3]:
[tex3]d=2p-2D\Rightarrow2p=d+2D[/tex3]

Letra C
Abraço

[Karl Weierstrass]

Boa fabit.

Sejam [tex3]R[/tex3] o raio do círculo circunscrito, [tex3]r[/tex3] o raio do círculo inscrito, [tex3]a,\,b[/tex3] e [tex3]c[/tex3] os lados do triângulo retângulo de catetos [tex3]b[/tex3] e [tex3]c[/tex3].

É óbvio que [tex3]a =D[/tex3].

A área do triângulo em função do semi-perímetro e do raio [tex3]r[/tex3] do círculo inscrito é dada por [tex3]S=pr=\frac{pd}{2}[/tex3]. Sabendo que a área desse triângulo também é o semiproduto dos catetos, isto é, [tex3]S=\frac{bc}{2}[/tex3], temos:

[tex3]bc=pd(\text{*})[/tex3]

[tex3]a+b+c=2p\Longrightarrow (\text{**})[/tex3]

[tex3]b+c=2p-D(\text{***})[/tex3]

Elevando os dois lados de [tex3](\text{**})[/tex3] ao quadrado, segue que

[tex3]a^2+b^2+c^2+2(ab+ac+bc)=4p^2[/tex3]

[tex3]a^2+a^2+2[a(b+c)+bc]=4p^2\Longrightarrow 2a^2+2[a(b+c)+bc]=4p^2[/tex3]

Substituindo [tex3]a=D[/tex3], [tex3](\text{*})[/tex3] e [tex3](\text{***})[/tex3], obtemos:

[tex3]2D^2+2[D(2p-D)+pd]=4p^2[/tex3]

[tex3]2p^2-(2D+d)p=0[/tex3]

[tex3]p[2p-(2D+d)]=0[/tex3]

[tex3]2p=2D+d[/tex3].

[fabit]

É isso aí. Leia meu artigo na Eureka 25.

Abraço

[Karl Weierstrass]

Beleza pura.

[Flaviodw]

Bom dia.

Segue a minha resposta em anexo.
Acredito que tenha ficado mais simples.

Abraço.
Flávio.