Ensino Médio ⇒ Áreas das Figuras

[einstein]

Sabendo que ABCD é um quadrado de lado 2m, calcule a área hachurada da figura abaixo.

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Resposta

---

[tex3]\frac{{2\pi }}{3}{\rm{ + }}\sqrt 3 {\rm{ - 3}}
[/tex3]

[Vinisth]

Olá einstein,

De onde você tirou este exercício ?
Seja o ponto [tex3]E[/tex3] a interseção dos dois círculos e note que [tex3]\angle BAE[/tex3] é 30º. Seja F (ponto médio) de AD, então você terá a área da região [tex3]BEFA[/tex3] calculada pela área do triangulo AEF somada com a do setor. Disso você pode ter a área da região BCE. Seja G o ponto de interseção das diagonais você tem o triângulo BCG. Então ?

Abraço !

[Birnebaum]

rai56.png (14.81 KiB) Exibido 634 vezes

Tente o seguinte:

S3=Área do quadrado - (área do triâng. equilátero AED + 2 vezes a área do setor circular ABE)
Área pedida = 1/4 da área do quadrado - a área de S3.

Bb

[VALDECIRTOZZI]

Consideremos a figura:

Quadrado e triângulo.jpg (46.92 KiB) Exibido 629 vezes

Inicialmente calculemos a área da região [tex3]DHC[/tex3] em verde.
Essa região é a área do quadrado [tex3]A_Q[/tex3] menos a área dos setores [tex3](A_S)[/tex3] [tex3]AHD \ e \ BHC[/tex3] menos a área do triânulo equilátero [tex3](A_T)[/tex3] [tex3]AHB[/tex3]:
[tex3]A_{DHC}=A_Q-(2 \cdot A_S+A_T)[/tex3] [tex3](I)[/tex3]

A área [tex3]A_T[/tex3] pode ser calculada pela expressão da área do triângulo equilatero e que nesse caso tem lado 2.:
[tex3]A_T=\ell^2 \cdot \frac{\sqrt3}{4}=2^2 \cdot \frac{\sqrt3}{4}=\sqrt3 \ m^2[/tex3]

O [tex3]\angle DAH=\angle CBH=30^o[/tex3], portanto a área do setor de [tex3]30^o[/tex3] será:
[tex3]A_S= \frac{30^o \cdot \pi \cdot 2^2}{360^o}=\frac{\pi}{3} \ m^2[/tex3]

Voltando à expressão [tex3](I):[/tex3]

[tex3]A_{DHC}=2^2-(2 \cdot \frac{\pi}{3}+\sqrt3)[/tex3]
[tex3]A_{DHC}=\left(4-\frac{2\pi}{3}-\sqrt{3}\right) \ m^2[/tex3]
A área da região azul [tex3](A)[/tex3]será:

[tex3]A=\frac{A_Q}{4}-A_{DHC}[/tex3]
[tex3]A=\frac{2^2}{4}-\left(4-\frac{2\pi}{3}-\sqrt{3}\right)[/tex3]
[tex3]A=1-4+\frac{2\pi}{3}+\sqrt3[/tex3]
[tex3]A=\left(\frac{2\pi}{3}+\sqrt3-3\right) \ m^2[/tex3]

Espero ter ajudado!