Ensino Médio ⇒ MMC e MDC

[paulo testoniMOD]

1) A soma de dois números é [tex3]320[/tex3] e o [tex3]\text{mmc}[/tex3] [tex3]600.[/tex3] calcule o [tex3]\text{mdc}[/tex3] dos números.

2) O mmc de dois números é [tex3]600,[/tex3] a soma dos quocientes das divisões dos números, pelo seu [tex3]\text{mdc}[/tex3] é [tex3]8.[/tex3] Calcule o menor número.

3) A soma de dois números é [tex3]60[/tex3] e o [tex3]\text{mmc}[/tex3] [tex3]72.[/tex3] Calcule o menor

[Thales Gheós]

1) A soma de dois números é [tex3]320[/tex3] e o mmc [tex3]600.[/tex3] calcule o mdc dos números.

Os números devem pertencer ao conjunto dos divisores de [tex3]600:[/tex3]

• [tex3]D(600)=\{1,2,3,4,5,6,8,10,12,15,20,24,25,30,75,100,120,150,200,300,600\}[/tex3]

e com soma [tex3]320[/tex3] encontramos os pares:

• [tex3](20,300)\Rightarrow \text{mmc}=300\\
  (120,200)\Rightarrow \text{mmc}=600[/tex3]
  [tex3]\text{mdc}(120,200)=40[/tex3]

3) A soma de dois números é [tex3]60[/tex3] e o [tex3]\text{mmc}[/tex3] [tex3]72.[/tex3] Calcule o menor.

• [tex3]D(72)=\{1,2,3,4,6,8,9,12,18,24,36,72\}[/tex3]
  
  [tex3](36,24) \Rightarrow \text{soma}=60, \text{mmc}=72[/tex3]

[Thales Gheós]

2) O [tex3]\text{mmc}[/tex3] de dois números é [tex3]600,[/tex3] a soma dos quocientes das divisões dos números, pelo seu [tex3]\text{mdc}[/tex3] é [tex3]8.[/tex3] Calcule o menor número.

Caro Paulo esses exercícios são trabalhosos.

De novo os números são divisores de [tex3]600:[/tex3]

• [tex3]D(600)=\{1,2,3,4,5,6,8,10,12,15,20,24,25,30,60,75,100,120,150,200,300,600\}[/tex3]

quando dois números são divididos pelo seu [tex3]\text{mdc}[/tex3] o quociente para cada um é um dos seus fatores primos:

• [tex3]\frac{N_1}{\text{mdc}}=F_{p1}[/tex3] e [tex3]\frac{N_2}{\text{mdc}}=F_{p2}[/tex3]
  
  [tex3]\frac{N_1+N_2}{\text{mdc}}=F_{p1}+F_{p2}[/tex3]

[tex3]F_{p1}+F_{p2}=8\Rightarrow[/tex3] os primos que somam [tex3]8[/tex3] são [tex3]3[/tex3] e [tex3]5.[/tex3] Agora é de novo fazer tentativas procurando pares que atendam à  hipótese. Dá prá achar:

• [tex3]\text \frac{200}{40}=5 e \frac{120}{40}=3[/tex3]
  [tex3]\text \frac{100}{20}=5 e \frac{60}{20}=3[/tex3]
  [tex3]\text \frac{15}{5}=3 e \frac{25}{5}=5[/tex3]
  [tex3]\text \frac{6}{2}=3 e \frac{10}{2}=5[/tex3]

Os números são [tex3]120[/tex3] e [tex3]200[/tex3] o [tex3]\text{mmc}[/tex3] é [tex3]600[/tex3] e o [tex3]\text{mdc}[/tex3] é [tex3]40[/tex3]

[paulo testoniMOD]

Caro Thales.

Gostaria de agradecer as suas brilhantes resoluções.

[Thales Gheós]

Caro Paulo,

sou eu quem deve agradecer a oportunidade do convívio intelectual com pessoas como você.

abraço,

[paulo testoniMOD]

Hola Thales.

Depois de pesquisar num livro bem antigo e respeitando as suas colocações encontrei uma maneira um pouco diferente da sua resolução. veja:

Sejam [tex3]a[/tex3] e [tex3]b[/tex3] os dois números procurados.

• [tex3]\frac{a}{\text{mdc}} = p,[/tex3] e
  [tex3]\frac{b}{\text{mdc}} = q[/tex3]

Vamos chamar os quocientes de [tex3]p[/tex3] e [tex3]q,[/tex3] é bom lembrar que esses quocientes sempre são primos entre si.

logo: [tex3]p + q = 8,[/tex3] como podemos escrever esse [tex3]8?[/tex3]
[tex3]8 = 3 + 5,[/tex3] note que [tex3]3[/tex3] e [tex3]5[/tex3] são primos entre si, só há essa maneira de escrever.

Fazendo:

[tex3]\frac{600}{3\cdot 5} = 40,[/tex3] esse [tex3]40[/tex3] é o [tex3]\text{mdc}[/tex3] desse dois números [tex3]a[/tex3] e [tex3]b.[/tex3]

Da teoria vem que:

• [tex3]a = \text{mdc}\cdot p \Longrightarrow a = 40\cdot 3 = 120[/tex3]

• [tex3]b = \text{mdc}\cdot q \Longrightarrow b = 40\cdot 5 = 200,[/tex3]

portanto o menor dos dois números é: [tex3]120[/tex3]

[Thales Gheós]

Olá Paulo Testoni,

Hola Thales.

Depois de pesquisar num livro bem antigo e respeitando as suas colocações encontrei uma maneira um pouco diferente da sua resolução. veja:

É isso mesmo. Essa é a melhor maneira de encarar a questão. Eu é que "viajei" um pouco, mesmo encontrando a resposta, deveria ter enxergado o bom caminho quando fiz:

[tex3]\frac{N_1+N_2}{MDC}=F_{p1}+F_{p2}[/tex3]

A Aritmética é a parte mais instigante da Matemática e a gente aprende permanentemente.

grande abraço,