Pré-Vestibular ⇒ (Fuvest - 2010) Análise Combinatória Tópico resolvido

[Catnip]

Seja [tex3]n[/tex3] um número inteiro, [tex3]n \geq 0[/tex3].

a) Calcule de quantas maneiras distintas [tex3]n[/tex3] bolas idênticas podem ser distribuídas entre Luís e Antônio.
b) Calcule de quantas maneiras distintas [tex3]n[/tex3] bolas idênticas podem ser distribuídas entre Pedro, Luís e Antônio.
c) Considere, agora, um número natural [tex3]k[/tex3] tal que [tex3]0\leq k<n[/tex3]. Supondo que cada uma das distribuições do item b) tenha a mesma chance de ocorrer, determine a probabilidade de que, após uma dada distribuição, Pedro receba uma quantidade de bolas maior ou igual a [tex3]k[/tex3].

Obs.: Nos itens a) e b) consideram-se válidas as distribuições nas quais uma ou mais pessoas não recebam bola alguma.

Resposta

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a) [tex3]n+1[/tex3]

b) [tex3]\frac{(n+1)(n+2)}{2}[/tex3]

c) [tex3]\frac{(n-k+2)(n-k+1)}{(n+2)(n+1)}[/tex3]

[Vinisth]

Olá Catnip,
Use este fato :
[tex3]oooo ... | oooo ...[/tex3]
[tex3]o[/tex3] = são n bolas, sendo que cada lado fica para uma pessoa.

a) [tex3]P=\frac{(n+1)!}{n!}=\frac{(n+1)\cdot n! }{n!}=n+1[/tex3]

b) Mesma coisa
[tex3]P=\frac{(n+2)!}{2! \cdot n!} = \frac{(n+2)(n+1)n!}{n!} = \frac{(n+2)(n+1)}{2}[/tex3]

c) P = [tex3]\frac{\text {n de distrib.}}{\text {distrib total}}= \frac{\frac{([n-k]+2)!}{2! \cdot (n-k)!}}{\frac{(n+2)(n+1)}{2}}=\frac{(n-k+2)(n-k+1)}{(n+2)(n+1)}[/tex3]

Abraço !

[Radius]

Entendi poha nenhuma.

Queria saber, na letra (a), o que significa esse [tex3]P[/tex3] e por que ele é igual a [tex3]\frac{(n+1)!}{n!}[/tex3] ?

[lincoln1000]

Venho renascer esse tópico a fim de que alguém possa me ajudar na resolução desse exercício, eu ia criar um novo mas encontrei este que é exatamente a questão que eu quero, porém não consegui compreender a resolução postada, alguém poderia me ajudar?

[jrneliodias]

olá, lincoln1000,

a) Pedemos pensar em [tex3]\,3\,[/tex3] bolinhas, se Luís receber [tex3]\,1\,[/tex3] bolinha, Antônio receberá [tex3]\,2\,[/tex3] bolinhas. Por outro lado, se Luís recebe [tex3]\,0\,[/tex3] bolinhas, Antônio receberá [tex3]\,3\,[/tex3] bolinhas. Dessa forma, determinar a quantidade de bolinhas de Luís já determina a quantidade de objetos para Antônio. Então, se temos [tex3]\,3\,[/tex3] bolinhas, podemos distribuir de [tex3]\,4\,[/tex3] formas as bolinhas para Luís [tex3]\,(0,\,1,\,2,\,3\,\,ou\,\,4)\,[/tex3].

Seguindo esse raciocínio, se temos n bolinhas, podemos distribuir de [tex3]\,n+1\,[/tex3] maneiras para o Luís [tex3]\,(0,\,1,\,2,\,3,\cdots, n)\,[/tex3]




b) Agora temos que melhorar nosso cálculo,vamos pensar que temos [tex3]\,4\,[/tex3] bolas, sabemos que independente da quantidade de cada um, sempre temos

[tex3]p+l+a=4[/tex3]

Se olharmos para as soluções inteiras não negativas dessa equação, temos, por exemplo, [tex3]\,(1,\,1,\,2)\,[/tex3], ou seja,

[tex3]\,(b,\,b,\,bbb)\,[/tex3]

Se pensarmos que os b e as vírgulas são objetos, eles podem ser permutados, ou seja

[tex3]\,(b,\,bb,\,bb)\,=\,\,(1,\,2,\,2)[/tex3]

Assim, podemos dizer que a quantidade de permutações dos b's e vírgulas é a quantidade de soluções inteiras não negativas da equação. Além, disso o número de soluções também é quantidade de maneiras que podemos distribuir as bolinhas entre os rapazes.

Portanto, nesse pequeno caso, a quantidade de permutações de [tex3]\,(,,bbbb)\,[/tex3] [tex3]\,\frac{6!}{2!\,4!}\,=15[/tex3], pois temos elementos repetidos.

No caso da questão, temos [tex3]\,n\,[/tex3] bolas e [tex3]\,2\,[/tex3] vírgulas, assim teríamos [tex3]\,\frac{(n+2)!}{n!\,2!}\,=\,\frac{(n+2)(n+1)}{2}[/tex3]



c) Neste momento, é como se Pedro pegasse 1 bolinha das 4 para ele e pedisse para calcular de quantas maneiras as outras 3 poderia ser distribuída entre os 3.

Então, na questão, Pedro já possui [tex3]\,k\,[/tex3] bolinhas e temos que calcular quantas maneiras podemos distribuir as [tex3]\,n-k\,[/tex3] bolinnhas entre os 3. Temos

[tex3]\,\frac{(n-k+2)!}{(n-k)!\,2!}\,=\,\frac{(n-k+2)(n-k+1)}{2}[/tex3]

Por fim, como queremos a probabilidade de que Pedro receba k ou mais bolinhas, temos que dividir esse número pelo número total de possibilidades calculado na letra (b), assim

[tex3]P=\,\frac{\frac{(n-k+2)(n-k+1)}{2}}{\frac{(n+2)(n+1)}{2}}\,=\,\frac{(n-k+2)(n-k+1)}{(n+2)(n+1)}[/tex3]


Espero ter ajudado. Abraço.

[lincoln1000]

Muito obrigado jrneliodias! Agora consegui entender, valeuu!!