Ensino Médio ⇒ Produto de Cossenos em PA Tópico resolvido

[theblackmamba]

Calcule o valor da expressão [tex3]\cos(\alpha)\cdot \cos(2\alpha) \cdot \cos(3\alpha)\cdot \cdot \cdot \cos(999\alpha)[/tex3], para [tex3]\alpha=\frac{2\pi}{1999}[/tex3].

Resposta

---

[tex3]\frac{1}{2^{999}}[/tex3]

[theblackmamba]

Alguma ideia na questão ?

[Vinisth]

Olá theblackmamba,

Vou usar isto primeiramente :
[tex3]\boxed{ \sen(2\alpha)=2\cos(\alpha) \sen(\alpha)}[/tex3]

[tex3]A=\cos(\alpha)\cdot \cos(2\alpha) \cdot \cos(3\alpha)\cdot \cdot \cdot \cos(999\alpha)[/tex3]
[tex3]B= \sen(\alpha)\cdot \sen(2\alpha) \cdot \sen(3\alpha)\cdot \cdot \cdot \sen(999\alpha)[/tex3]

[tex3]2^{999}AB=\left[2\cos(\alpha)\cdot \sen(\alpha)\right]\cdot \left[2\cos(2\alpha)\cdot \sen(2\alpha)\right]\cdot\left[2\cos(3\alpha)\cdot \sen(3\alpha)\right]\cdots \left[2\cos(999\alpha)\cdot \sen(999\alpha)\right]\\ \\2^{999}AB= \sen(2\alpha) \sen(4\alpha) \sen(6\alpha) \sen(8\alpha)\cdots \sen(1998\alpha) \\ \\ 2^{999}AB= \sen(2\alpha) \sen(4\alpha) \sen(6\alpha) \sen(8\alpha)\cdots \sen(998\alpha) \cdot[- \sen(2\pi-1000\alpha)[- \sen(2\pi-1002\alpha)] [- \sen(2\pi-1004\alpha)][- \sen(2\pi-1006\alpha)]\cdots [- \sen(2\pi-1998\alpha)][/tex3]

Nesta passagem nós usamos o [tex3]2\pi[/tex3] de cada fator, como sendo [tex3]\alpha=\frac{2\pi}{1999} \implies \boxed{1999\alpha=2\pi}[/tex3]

[tex3]\small 2^{999}AB= \sen(2\alpha) \sen(4\alpha)\cdots \sen(998\alpha) \sen(999\alpha) \sen(997\alpha)\cdots \sen(3\alpha) \sen(\alpha)=B[/tex3]

E finalmente,
[tex3]\boxed{A=\frac{1}{2^{999}}}[/tex3]

[Babi123]

Há uma solução via complexos?

[Babi123]

Usando as ideias que alguns colegas usam ao resolver problemas de trigonometria, entre eles, o snooplammer rsrs...

Solução:
[tex3]E=\cos\(\frac{2\pi}{1999}\)\cdot\cos\(\frac{4\pi}{1999}\)\cdot\cos\(\frac{6\pi}{1999}\)\cdot...\cdot\cos\(\frac{1998\pi}{1999}\)[/tex3]
Seja [tex3]z=\cis\(\frac{2\pi}{1999}\)[/tex3]
Então,
[tex3]z+z^{-1}=2\cos\(\frac{2\pi}{1999}\)\\
z^2+z^{-2}=2\cos\(\frac{4\pi}{1999}\)\\
z^3+z^{-3}=2\cos\(\frac{6\pi}{1999}\)\\
z^4+z^{-4}=2\cos\(\frac{8\pi}{1999}\)\\
.\\
.\\
.\\
z^{999}+z^{-999}=2\cos\(\frac{1998\pi}{1999}\)[/tex3]
Multiplicando membro a membro toda essas igualdades:
[tex3]\(z+z^{-1}\)\cdot\(z^2+z^{-2}\)\cdot\(z^3+z^{-3}\)\cdot\(z^4+z^{-4}\)\cdot...\cdot\(z^{999}+z^{-999}\)=2^{999}\cdot\cos\(\frac{2\pi}{1999}\)\cdot\cos\(\frac{4\pi}{1999}\)\cdot\(\frac{6\pi}{1999}\)\cdot\cos\(\frac{8\pi}{1999}\)\cdot...\cdot\cos\(\frac{1998\pi}{1999}\)\\
\(\frac{z^{1}-z^{-1}}{z^1-z^{-1}}\)\cdot\(z+z^{-1}\)\cdot\(z^2+z^{-2}\)\cdot\(z^3+z^{-3}\)\cdot\(z^4+z^{-4}\)\cdot...\cdot\(z^{999}+z^{-999}\)=2^{999}\cdot\cos\(\frac{2\pi}{1999}\)\cdot\cos\(\frac{4\pi}{1999}\)\cdot\(\frac{6\pi}{1999}\)\cdot\cos\(\frac{8\pi}{1999}\)\cdot...\cdot\cos\(\frac{1998\pi}{1999}\)\\
\frac{z^{1998}-z^{-1998}}{z^1-z^{-1}}=2^{999}\cdot\cos\(\frac{2\pi}{1999}\)\cdot\cos\(\frac{4\pi}{1999}\)\cdot\(\frac{6\pi}{1999}\)\cdot\cos\(\frac{8\pi}{1999}\)\cdot...\cdot\cos\(\frac{1998\pi}{1999}\)\\[/tex3]
Mas, [tex3]z^n-z^{-n}=2i\sen(n\theta)[/tex3]. Daí, segue que:
[tex3]\cancel{\frac{2i\sen\(\frac{1998\cdot 2\pi}{1999}\)}{2i\sen\(\frac{2\pi}{1999}\)}}=2^{999}\cdot\cos\(\frac{2\pi}{1999}\)\cdot\cos\(\frac{4\pi}{1999}\)\cdot\(\frac{6\pi}{1999}\)\cdot\cos\(\frac{8\pi}{1999}\)\cdot...\cdot\cos\(\frac{1998\pi}{1999}\)\\
\cos\(\frac{2\pi}{1999}\)\cdot\cos\(\frac{4\pi}{1999}\)\cdot\(\frac{6\pi}{1999}\)\cdot\cos\(\frac{8\pi}{1999}\)\cdot...\cdot\cos\(\frac{1998\pi}{1999}\)=\frac{1}{2^{999}}[/tex3]


Créditos ao snooplammer que contribuiu bastante para a solução, principalmente, no momento que travou.

[kruno]

Como você passou esse produto de varios binomios de [tex3]z[/tex3] em so um binomio [tex3](z^{1999}-z^{-1999})[/tex3]?

[FelipeMartinMOD]

kruno, [tex3](a-b)(a+b) = a^2-b^2[/tex3]

[kruno]

Sim, claro, mas me parece que isso simplificaria apenas os binomios com potencias de [tex3]2[/tex3], e as parcelas restantes?

[FelipeMartinMOD]

kruno, vc está certo, não simplificaria

[Arquimedezz]

Seria interessante aplicar Tchebischevy nessa questão? Faz uns dias que ela me tira o sono... Eu tava dando uma olhada na resolução lor complexos e achei bem elegante, só que estou com essa mesma dúvida do kruno.