Concursos Públicos ⇒ (CESPE-UNB/SEDUC-CE 2009) Area total de um cilindro Tópico resolvido

[cicero444]

Se um cone circular reto estiver inscrito em um cilindro equilátero de raio da base igual a 3 cm, então, nesse caso, a razão entre a área total do cone e a área total do cilindro é igual a
A) [tex3]\frac{\sqrt{\pi }}{2}[/tex3]
B) [tex3]\frac{\pi }{8}[/tex3]
C) [tex3]\frac{\sqrt{5}-1}{3}[/tex3]
D)[tex3]\frac{\sqrt{5}+1}{6}[/tex3]

[ttbr96]

num clindro equilátero o diâmetro da base e a altura tem a mesma medida.
se o diâmetro da base é igual a 6cm, então a altura também é de 6cm.

com isso, a altura (h) do cilindro e do cone é de 6cm.

então:
área da base do cilindro e do cone:
[tex3]A_{base} = \pi r^2[/tex3]

área lateral do cilindro:
[tex3]A_{lateral\,\,cilindro} = 2\pi rh[/tex3]

área lateral do cone:
[tex3]A_{lateral\,\,cone} = \frac{2\pi rg}2 = \pi rg[/tex3]

área total do cilindro:
[tex3]A_{total\,\,cilindro} = 2(A_{base} + A_{lateral\,\,cilindro} = 2\pi r^2 + 2\pi rh = 2\pi r(r + h)[/tex3]

área total do cone:
[tex3]A_{total\,\,cone} = A_{base} + A_{lateral\,\,cone} = \pi r^2 + \pi rg = \pi r(r + g)[/tex3]

Razão (R):
[tex3]R = \frac{A_{total\,\,cone}}{A_{total\,\,cilindro}} = \frac{\pi r(r + g)}{2\pi r(r + h)} = \frac{r + g}{2(r + h)}[/tex3]

medida da geratriz (g) do cone:
[tex3]g^2 = r^2 + h^2 = 9 + 36 = 45 \Rightarrow g = \sqrt{45} = 3\sqrt5[/tex3]

logo:
[tex3]R = \frac{3 + 3\sqrt5}{2(3 + 6)} = \frac{3 + 3\sqrt5}{18} = \frac{1 + \sqrt5}6[/tex3]