Ensino Médio ⇒ Áreas das Figuras Tópico resolvido

[andreluiz]

Observa a figura abaixo, sabendo que a soma das áreas [tex3]{S_1 + S_2 = 12}[/tex3]. Calcule a área [tex3]S_x[/tex3].

22.10.jpg (32.1 KiB) Exibido 608 vezes

Resposta

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12

[VALDECIRTOZZI]

Consideremos a figura:

Setor_I.jpg (42.17 KiB) Exibido 598 vezes

Inicialmente calculemos a área [tex3]A_S[/tex3] definida pelo setor de [tex3]60^o[/tex3] e raio [tex3]R[/tex3]:
A área será: [tex3]A_S=\frac{\pi R^2}{6}[/tex3]

A área [tex3]A_I[/tex3], em vermelho, será dada por:
[tex3]A_I=A_S-S_I-S_{II}-\pi r^2[/tex3] [tex3](I)[/tex3], onde [tex3]r[/tex3] é o raio do círculo de centro [tex3]F[/tex3]

Note que [tex3]\Delta OCF[/tex3] é retângulo, daí:
[tex3]\sin 30^o=\frac{r}{R-r}[/tex3]
[tex3]\frac{1}{2}=\frac{r}{R-r} \Longleftrightarrow r=\frac{R}{3}[/tex3]

Substituindo esse resultado em [tex3](I)[/tex3]:
[tex3]A_I=\frac{\pi R^2}{6}-12-\frac{\pi R^2}{9}=\frac{\pi R^2}{18}-12[/tex3] [tex3](II)[/tex3]

Agora [tex3]S_x[/tex3] será dada por:
[tex3]S_x=A_{II}-A_I[/tex3] [tex3](III)[/tex3], onde [tex3]A_{II}[/tex3] é a area definida pelo raio [tex3]b[/tex3] e o ângulo de [tex3]60^o[/tex3].

Temos que
[tex3]\tan 30^o=\frac{r}{b}[/tex3]
[tex3]\frac{\sqrt3}{3}=\frac{R}{3b} \Longleftrightarrow b=\frac{R}{\sqrt3}[/tex3]
[tex3]A_{II}=\frac{\pi}{6} \cdot b^2=\frac{\pi}{6} \cdot \frac{R^2}{\left(\sqrt3\right)^2}=\frac{\pi R^2}{18}[/tex3]

Voltando a [tex3](III)[/tex3]
[tex3]S_x=A_{II}-A_I[/tex3]
[tex3]S_x=\frac{\pi R^2}{18}-\left(\frac{\pi R^2}{18}-12\right)=12[/tex3]

Espero ter ajudado!