Ensino Superior ⇒ Coordenadas Polares. (Dúvida na resolução) Tópico resolvido

[Loreto]

[tex3]\int\limits_{}^{} \int\limits_{B}^{}dx[/tex3] [tex3]x^2[/tex3] dxdy onde [tex3]B = x^2 + 4y^2[/tex3] [tex3]\leq 4[/tex3]

Na hora de calcular o Jacobiano, foi feito a mudança de variável :

[tex3]\begin{cases}
x=cos \theta \\
2y= sen \theta
\end{cases}[/tex3]


Sempre vejo nos exemplos x = r.cos [tex3]\theta[/tex3] e y = r.sen [tex3]\theta[/tex3]. Mas, nunca vi 2y = r.sen [tex3]\theta[/tex3] numa integral que não possui y na f(x,y). De onde saiu isso ? Alguém sabe me explicar ?

[Vinisth]

Dica :

[tex3]x=2u \\
y=v[/tex3]
[tex3]4u^2+4v^4 \leq 4[/tex3]

Calcule o jacobino, e em seguida você faz a substituição de [tex3]r\cos(\theta)\ e \ r\sin(\theta)[/tex3] não esquecendo que o jacobiano deles sempre resulta em [tex3]r[/tex3] e calcule a integral.

Abraço !

[Loreto]

O jacobiano deu 2, daí tentei montar a integral :

[tex3]\int\limits_{}^{} \int\limits_{B}^{}dx[/tex3] [tex3]2r.cos^2 \theta[/tex3] drd [tex3]\theta[/tex3].

Nem consegui achar o intervalo de integração, estou com dificuldade nisso. Também continua a minha dúvida a respeito da mudança de variável feita inicialmente.

[Vinisth]

Você não montou do jeito que eu disse ! haha Eu monto aqui pra você ... : )

[tex3]B : 4u^2+4v^4 \leq 4 \implies u^2+v^2 \leq 1[/tex3]

[tex3]\int \int_{B} 4u^2 \ \cdot |2| dB[/tex3], aqui você faz outra substituição
[tex3]u=r\cos(\theta)\ e \ v=r\sin(\theta)[/tex3]

[tex3]8 \int_{0}^{2\pi} \int_0^1 r^2\cos^2(\theta)\cdot |r| \ d\ r \ d \theta=\boxed{2\pi}[/tex3]

Espero que seja isso.
Abraço !

[Loreto]

Hum....refiz os cálculos e está corretissímo. Obrigado.

Não sei se estou certo no que concluí. Quando você fez a mudança de variável de (x,y) para (u,v) você alterou o conjunto B, transformando em uma circunferência, onde o intervalo de integração ficou mais fácil de cálcular.

Assim o B que era : [tex3]x^2 + y^2[/tex3] [tex3]\leq 4[/tex3]

Passou para : [tex3]B = 4u^2 + 4v^2[/tex3] [tex3]\leq 4[/tex3]

Por isso inves de colocar [tex3]x = u[/tex3], colocou-se [tex3]x = 2u[/tex3]

Obs : Pelo livro o Jacobiano dá [tex3]-r/2[/tex3] , que vai na integral [tex3]1/2[/tex3], que creio seja o módulo.

Mas tem alguma coisa errada, a resposta do livro dá [tex3]\pi /8[/tex3] . E agora ? rsrs
Vlw pela ajuda.

[Vinisth]

Acredito que a resposta seja [tex3]2\pi[/tex3] mesmo ! A integral montada fica desta forma :

[tex3]8 \int_{0}^{2\pi} \int_0^1 r^2\cos^2(\theta)\cdot dr \ d \theta =8\left(\int_0^{2\pi}cos^2(\theta) \ d \theta\right)\left( \ \int_0^1r^3\ dr\right)[/tex3]

Por nada,

Abraço !