Concursos Públicos ⇒ (CESPE-UNB/SEDUC-CE 2013) Área Máxima do Pentagono Tópico resolvido

[cicero444]

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No retângulo [tex3]ABCD[/tex3] mostrado acima, os lados [tex3]AB[/tex3] e [tex3]DC[/tex3] medem [tex3]10 \,cm[/tex3], e [tex3]AD[/tex3] e [tex3]BC[/tex3], [tex3]6 \,cm[/tex3]. Para cada [tex3]x[/tex3] real tal que [tex3]0\leq x \leq 6[/tex3],considere os pontos [tex3]R_x[/tex3] sobre o lado [tex3]AD[/tex3] e [tex3]P_x[/tex3] sobre [tex3]AB[/tex3] de modo que [tex3]AR_x = AP_x = x \,cm[/tex3]. Considere também [tex3]Q_x[/tex3] sobre [tex3]DC[/tex3] de modo que a medida de [tex3]Q_xC[/tex3] seja igual a [tex3]x[/tex3] cm. Nessa situação, o valor de [tex3]x[/tex3] que
determina o pentágono [tex3]P_xBCQ_xR_x[/tex3] de máxima área é igual a


A) 1.
B) 2.
C) 3.
D) 4.
E) 5.

[csmarceloMOD]

Quanto menor for a soma das áreas dos triângulos [tex3]AR_xP_x[/tex3] e [tex3]DR_xQ_x[/tex3], maior será a área do pentágono [tex3]P_xBCQ_xR_x[/tex3].

Área de [tex3]\Delta AR_xP_x=\frac{x^{2}}{2}[/tex3]
Área de [tex3]\Delta DR_xQ_x=\frac{(6-x)(10-x)}{2}[/tex3]

Soma das áreas de [tex3]\Delta AR_xP_x[/tex3] e [tex3]\Delta DR_xQ_x=\frac{x^{2}}{2}+\frac{(6-x)(10-x)}{2}=x^{2}-8x+30[/tex3]

Por se tratar de uma equação do segundo grau com coeficiente [tex3]a[/tex3] positivo, o menor valor de [tex3]x^{2}-8x+30[/tex3] ocorrerá quando [tex3]x=x_v=-\frac{b}{2a}=-\frac{-8}{2}=4[/tex3].

Resposta: D.