Concursos Públicos ⇒ (CESPE-UNB/SEDUC-CE 2013) Função Derivada Tópico resolvido

[cicero444]

A respeito de uma função f(x) tal que g(x) = 3 [tex3]x^{2}[/tex3] - 6x - 9 é a função derivada de f, assinale a opção correta.
A) Se f(0) = 0, então f(x) = [tex3]\frac{1}{3} x^{3}[/tex3]-3 [tex3]x^{2}[/tex3]+9x.
B) f possui três pontos críticos.
C) x = 1 é ponto de mínimo local de f.
D) x = 3 é ponto de máximo local de f.
E) x = 1 é ponto de inflexão de f.

[emanuel9393MOD]

Olá, Cícero!

Observe que [tex3]f(x) = \int g(x) dx = x^3 - 3x^2- 9x + c[/tex3]. Agora, vamos analisar cada alternativa:
A) Se [tex3]f(0) = 0[/tex3] então [tex3]c = 0[/tex3], logo [tex3]f(x) = x^3 - 3x^2 - 9x[/tex3]. Alternativa falsa.
B) Os pontos críticos da função [tex3]f[/tex3] corresponde às raízes de [tex3]g(x)[/tex3] que são em duas (verifique). Alternativa falsa.
C) [tex3]x = 1[/tex3] não corresponde à um ponto crítico.
D) Temos que [tex3]g'(x) = 6x - 6[/tex3] de forma que [tex3]g'(3) > 0[/tex3] e com isso [tex3]x = 3[/tex3] corresponde à um ponto de mínimo. Alternativa falsa.
E) Ainda pela alternativa anterior, temos [tex3]g'(1) = 0[/tex3] de forma que [tex3]x = 1[/tex3] corresponde a um ponto de inflexão em [tex3]f[/tex3]. Alternativa correta.

Logo, a alternativa correta é a E.
Um bom exercício: se dê ao luxo de esboçar o gráfico de [tex3]f[/tex3] e procure visualizar as soluções dos questionamentos feitos na questão.
Grande abraço!