Ensino Médio ⇒ Ponto interior do retângulo Tópico resolvido

[ALANSILVA]

[tex3]P[/tex3] é um ponto interior a um retângulo [tex3]ABCD[/tex3] e tal que [tex3]PA=3[/tex3], [tex3]PB=4[/tex3] e [tex3]PC=5[/tex3]. Então, [tex3]PD[/tex3] mede:

a) [tex3]2\sqrt{3}[/tex3]
b) [tex3]3\sqrt{2}[/tex3]
c) [tex3]3\sqrt{3}[/tex3]
d) [tex3]4\sqrt{2}[/tex3]
e) [tex3]2[/tex3]

Resposta

---

Gabarito: B

[Marcos]

Olá ALANSILVA.Observe a solução abaixo:

Traçando por [tex3]P[/tex3] paralelas aos lados do retângulo, temos a situação da figura abaixo.

Ponto interior do retângulo.gif (3.91 KiB) Exibido 7160 vezes

[tex3]\Rightarrow[/tex3] Aplicando o teorema de Pitágoras quatro vezes.Temos:

[tex3]\begin{cases} m^2 + n^2 = 9 \rightarrow (i)\\p^2 + q^2 = 25 \rightarrow (ii)\end{cases}[/tex3]
[tex3]\begin{cases} m^2 + q^2 = x^2 \rightarrow (iii)\\n^2 + p^2 = 16 \rightarrow (iv)\end{cases}[/tex3]

[tex3]1)[/tex3] Somando [tex3](i)[/tex3] com [tex3](ii)[/tex3], temos:

[tex3]m^2 + q^2 + n^2 + p^2 = 34[/tex3]

[tex3]2)[/tex3] Somando [tex3](iii)[/tex3] com [tex3](iv)[/tex3], temos:

[tex3]m^2 + q^2 + n^2 + p^2 = x^2+16[/tex3]

[tex3]3)[/tex3] Igualando [tex3](1)[/tex3] com [tex3](2)[/tex3], temos:

[tex3]x^2 + 16 = 34[/tex3]
[tex3]\boxed{\boxed{x = 3\sqrt{2}}} \Rightarrow Letra: (B)[/tex3]

Resposta: [tex3]B[/tex3]

[Juniorhw]

Outro jeito interessante é por geometria analítica:

[tex3]A(0,0);\,\,B(0,a);\,\,C(b,a);\,\,D(b,0);\,\,P(x,y)[/tex3]

[tex3]9=x^2+y^2\,\,(i)\\\\16=x^2+(y-a)^2\,\,(ii) \\\\25=(x-b)^2+(y-a)^2\,\,(iii)\\\\\\d_{PD}^2=(x-b)^2+y^2\overset{(iii)}{\Rightarrow} \\\\d_{PD}^2=25-(y-a)^2+y^2\overset{(i)}{\Rightarrow}\\\\d_{PD}^2=25-(y-a)^2+9-x^2\overset{(ii)}{\Rightarrow} \\\\d^2_{PD}=25-(16-x^2)+9-x^2\\\\d^2_{PD}=18\Rightarrow \boxed{d_{PD}=3\sqrt{2}}[/tex3]

Abraço.

[Vinisth]

Um pouco de generalização :

[tex3]\begin{cases} m^2 + n^2 = AP^2 \rightarrow (i)\\p^2 + q^2 = PC^2 \rightarrow (ii)\end{cases}[/tex3]
[tex3]\begin{cases} m^2 + q^2 = x^2 \rightarrow (iii)\\n^2 + p^2 = BP^2 \rightarrow (iv)\end{cases}[/tex3]

Somando (i), (ii) e somando (iii), (iv) :
[tex3](m^2+n^2+p^2+q^2)=AP^2+PC^2[/tex3]
[tex3](m^2+n^2+p^2+q^2)=x^2+BP^2[/tex3]

Chamando x de DP (apenas para usar uma notação equivalente ).Dessas últimas dão em :
[tex3]\boxed{AP^2+PC^2=DP^2+BP^2}[/tex3]

Abraço !