Ensino Médio ⇒ (Apostila Etapa) Números Complexos Tópico resolvido

[Fabim]

Resolver:

[tex3]z^{2} + (2i+3)\,z + 5 - i = 0[/tex3]

Resposta

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[tex3]V=\{\,1+i\,;\, 2-3i\,\}[/tex3]

[Cássio]

[tex3](1+i)^2+(2i+3)(1+i)+5-i=2i+2i-2+3+3i+5-i=6i+6[/tex3]

O gabarito não está certo.

[Vinisth]

Olá Cássio

[tex3](4i-1)^2=-16-8i+1=-8i-15[/tex3]
Alguma coisa esta errada...

[Vinisth]

A equação correta seria :
[tex3]z^2 + (2i-3)z + 5 - i = 0[/tex3]

[Fabim]

Considerando então a equação do Vinisth, como resolve?

[PedroCunha]

Veja:

[tex3]z^2 + (2i-3)z + (5 - i) = 0 \\\\ \rightarrow \triangle = (2i-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (5-i) \therefore \triangle = 4i^2 - 12i + 9 - 20 + 4i \therefore \\\\ \triangle = -4 + 9 - 20 - 8i \therefore \triangle = -15 - 8i \therefore \triangle = 1 - 8i + 16i^2 \therefore \triangle = (1-4i)^2 \\\\

z = \frac{-2i + 3 \pm \sqrt{(1-4i)^2}}{2} \therefore z = \frac{-2i+3 \pm |1-4i|}{2} \rightarrow z = \frac{-2i +3 \pm (1-4i)}{2} \therefore \\\\ z_1 = \frac{-6i+ 4}{2} \therefore z_1 = 2 - 3i \hspace{20mm} z_2 = \frac{2i + 2}{2} \therefore z_2 = 1 + i[/tex3]

Att.,
Pedro

¹Outra maneira de fatorar o número [tex3]-15-8i[/tex3] é utilizando a fatoração de Gauss:

[tex3]I: (-15 - 8i) \cdot (-15 + 8i) \therefore 289 \\
II: 289 = 17 \cdot 17 \\
III: 17 = 1^2 + 4^2 \rightarrow (1 + 4i) \cdot (1-4i) \\
IV: 17 \cdot 17 = (1+4i)^2 \cdot (1-4i)^2 \\
V: (1+4i)^2 = 1 + 8i + 16i^2 = -15 + 8i \rightarrow \text{Nao serve} \\
(1-4i)^2 = 1 - 8i + 16i^2 = -15 - 8i \rightarrow \text{Serve} \Leftrightarrow -15 - 8i = (1-4i)^2[/tex3]