Pré-Vestibular ⇒ (UFU) Circunferência Tópico resolvido

[Fabim]

Determine a equação das retas que são paralelas à reta de equação [tex3]3x + 4y -1 = 0[/tex3] e tangentes à circunferência de equação [tex3]x^{2} + y^{2} - 2x + 2y - 5 = 0[/tex3].

Resposta

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[tex3]3x + 4y + 1 +5\sqrt{7} = 0\\
3x + 4y +1 - 5\sqrt{7} = 0[/tex3]

[Lisandra13]

Retas Paralelas: Mesmo coeficiente angular "m"
[tex3]3x + 4y - 1 = 0 \leftrightarrow 4y = -3x + 1 \leftrightarrow y = \frac{-3x}{4} + 1 \leftrightarrow \boxed {m = \frac {-3}{4}}[/tex3]

Achar o centro e raio da circunferência
[tex3]x^2 + y^2 - 2x + 2y - 5 = 0 \leftrightarrow[/tex3]
[tex3]-2 = -2x_c \leftrightarrow \boxed{x_c=1}[/tex3]
[tex3]-2 = +2y_c \leftrightarrow \boxed{y_c = -1}[/tex3]
[tex3]R^2 = 1^2 + (-1)^2 - (-5) \leftrightarrow \boxed {R=\sqrt{7}}[/tex3]

As retas procuradas
As retas procuradas serão do tipo:
[tex3]r_1 \leftrightarrow y=\frac{-3x}{4} + k[/tex3]
[tex3]r_2 \leftrightarrow y=\frac{-3x}{4} - k[/tex3]

Encontrando o k
Para encontrar o k devemos perceber que as retas são tangentes a circunferência, e isso faz com que a distância delas ao centro da circunferência seja igual ao raio. Vamos fazer distancia de ponto a reta:
[tex3]\sqrt{7} = \frac{3\cdot 1 + 4\cdot (-1) + k}{\sqrt {3^2 + 4^2}} \leftrightarrow 5\sqrt{7} = 3 - 4 + k \leftrightarrow \boxed {k = 1 + 5\sqrt7}[/tex3]

Substituindo
[tex3]\boxed {r_1 \leftrightarrow y=\frac{-3x}{4} + 1 + 5\sqrt7}[/tex3]
[tex3]\boxed{r_2 \leftrightarrow y=\frac{-3x}{4} - 1 - 5\sqrt7}[/tex3]

[PedroCunha]

Lisandra, você cometeu um pequeno erro no final. Veja que a fórmula da distância de um ponto a uma reta é dada por:

[tex3]d = \frac{|ax_1 + by_1 + c|}{\sqrt{a^2+b^2}}[/tex3]

De forma que a resolução fica:

[tex3]\sqrt7 = \frac{|3\cdot1 + 4\cdot(-1) + k|}{\sqrt{3^2+4^2}} \therefore 5\sqrt7 = |k-1|[/tex3]

Agora, temos dois casos:

[tex3]\circ k - 1 = 5\sqrt7 \rightarrow k = 1 + 5\sqrt7 \\
\circ k - 1 = -5\sqrt7 \rightarrow k = 1 - 5\sqrt7[/tex3]

Portanto, as retas são:

[tex3]r_1 \Leftrightarrow y = -\frac{3x}{4} + 1 + 5\sqrt7 \\\\
r_2 \Leftrightarrow y = -\frac{3x}{4} + 1 - 5\sqrt7[/tex3]

Att.,
Pedro

[Lisandra13]

Opa! Tens razão. Nem me liguei no módulo! Valeu Pê!