Ensino Superior ⇒ Passar para coordenadas polares Tópico resolvido

[Loreto]

Nesse exercício também não consegui encontrar o valor do raio.

[tex3]\int\limits_{0}^{a} \int\limits_{0}^{x}\sqrt{x^2+y^2}dxdy[/tex3]

Para achar o ângulo [tex3]\theta[/tex3] fiz :

[tex3]x = y[/tex3] [tex3]\rightarrow r.sen[/tex3] [tex3]\theta = r.cos \theta \rightarrow[/tex3] sen [tex3]\theta[/tex3] = cos [tex3]\theta[/tex3] [tex3]\rightarrow sen^2[/tex3] [tex3]\theta = (1-sen^2 \theta[/tex3])[tex3]\rightarrow[/tex3] [tex3]2sen^2[/tex3] [tex3]\theta[/tex3] = 1 [tex3]\rightarrow[/tex3] sen [tex3]\theta[/tex3] = 1/[tex3]\sqrt{2}[/tex3]

Logo, [tex3]\theta = \pi /4[/tex3] Então,

[tex3]\int\limits_{0}^{\pi /4} \int\limits_{0}^{?}dx[/tex3] [tex3]r^2[/tex3] [tex3]drd \theta[/tex3]

Não consegui achar o intervalo onde está o [tex3]\theta[/tex3]. Como acho ele ?
Vlw.

[emanuel9393MOD]

Olá, Loreto!

Tem certeza que a integral está escrita de forma correta? A ordem dos operadores é [tex3]dx \ dy[/tex3] mesmo? Acredito que há um engano, pois dessa forma, na região de integração temos que a variável [tex3]y[/tex3] varia de [tex3]0[/tex3] à [tex3]a[/tex3] enquanto [tex3]x[/tex3] varia de [tex3]0[/tex3] à [tex3]x[/tex3] (mas, [tex3]x=x[/tex3] é uma forma de equacionar o espaço tridimensional [tex3]\mathbb{R}^3[/tex3] (verifique)). Acredito que a integral seja:

[tex3]\int_{0}^{a}\int_0^x\sqrt{x^2+y^2} \ dy \ dx[/tex3]

Mesmo assim, não vejo uma forma de utilizar coordenadas polares nesse tipo de integral dupla. Use coordenadas retangulares mesmo.

[ManUtd]

[tex3]\int_{0}^{a}\int_0^x\sqrt{x^2+y^2} \ dy \ dx[/tex3]

se for esta aintegral então podemos calcular usando coordenadas polares, veja a figura:

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o ângulo [tex3]\theta[/tex3] vai de [tex3]0[/tex3] a [tex3]y=x \;\; \Rightarrow \;\; r*sen\theta=r*cos\theta \;\; \Rightarrow\ \theta=\frac{\pi}{4}[/tex3]

E o raio varia de 0 até a reta [tex3]x=a \;\; \Rightarrow \;\; r*cos\theta=a \;\; \Rightarrow \; r=\frac{a}{cos\theta}[/tex3].


então a nossa integral será:

[tex3]\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \; \int_{0}^{\frac{a}{cos\theta}} \; r^2 \; dr d\theta[/tex3]

[Loreto]

Obrigado queridos amigos emanuel9393 e ManUtd !! De fato, eu me confundi na hora de escrever a integral, é [tex3]dydx[/tex3] como vocês haviam falado. E ManUtd, sua resolução está correta, valeu mesmo gente.
Grande abraço !! xD