IME / ITA ⇒ (CFO-2013/PMERJ) Geometria Analítica Tópico resolvido

[ALANSILVA]

A circunferência [tex3]x^{2}+y^{2} = 8[/tex3] e a reta [tex3]x + y = 3[/tex3] cortam-se nos pontos A e B.

Sendo O o centro da circunferência, podemos calcular a área do triângulo OAB, igual a:

A) [tex3]\frac{5\sqrt{7}}{2}[/tex3]
B) [tex3]4\sqrt{7}[/tex3]
C) [tex3]\sqrt{7}[/tex3]
D) [tex3]\frac{3\sqrt{7}}{2}[/tex3]

Resposta

---

Gabarito:D

[PedroCunha]

Vamos encontrar os pontos em que elas se cruzam:

[tex3]\circ x + y = 3 \rightarrow x = 3 - y \\\\
\circ (3-y)^2 + y^2 = 8 \therefore 9 - 6y + y^2 + y^2 = 8 \therefore 2y^2 - 6y + 1 = 0 \\\\
y = \frac{6 \pm 2\sqrt7}{4} \rightarrow y = \frac{3 \pm \sqrt7}{2} \\\\
\circ x = 3 - \frac{3\pm\sqrt7}{2} \therefore x = \frac{3 \mp \sqrt7}{2}[/tex3]

Logo, os pontos A e B são: [tex3]A(\frac{3 - \sqrt7}{2} , \frac{3+\sqrt7}{2}), B( \frac{3+\sqrt7}{2}, \frac{3-\sqrt7}{2})[/tex3].

Sabemos que o centro da circunferência é o ponto [tex3]C(0,0)[/tex3], pois [tex3](x-0)^2 + (y-0)^2 = \sqrt{8}^2 \therefore x^2 + y^2 = 8[/tex3]. Aplicando o determinante para calcular a área do triângulo, temos:

[tex3]S = \frac{\left| \begin{vmatrix} 0 & 0 & 1 \\ \frac{3+\sqrt7}{2} & \frac{3-\sqrt7}{2} & 1 \\ \frac{3-\sqrt7}{2} & \frac{3+\sqrt7}{2} & 1 \end{vmatrix} \begin{matrix} 0 & 0 \\ \frac{3+\sqrt7}{2} & \frac{3-\sqrt7}{2} \\ \frac{3-\sqrt7}{2} & \frac{3+\sqrt7}{2} \end{matrix} \right|}{2} \therefore S = \frac{\left|\left(\frac{3+\sqrt7}{2}\right)^2 - \left(\frac{3-\sqrt7}{2}\right)^2\right|}{2} \therefore \\\\ S = \frac{\left| \frac{17 + 6\sqrt7}{4} - \frac{17 - 6\sqrt7}{4} \right|}{2} \therefore S = \frac{12\sqrt7}{8} \therefore \boxed{\boxed{S = \frac{3\sqrt7}{2} }}[/tex3]

Att.,
Pedro