IME / ITA ⇒ (CFO 2013/PMERJ) Volume dos sólidos

[ALANSILVA]

Um cone reto é seccionado por dois planos paralelos a sua base e que dividem sua altura em três partes iguais.
Os três sólidos obtidos são: um cone de volume [tex3]V_{1}[/tex3], um tronco de cone de volume [tex3]V_{2}[/tex3] e um tronco de cone de volume [tex3]V_{3}[/tex3], com [tex3]V_{1}[/tex3] < [tex3]V_{2}[/tex3] < [tex3]V_{3}[/tex3]
Se [tex3]V_{1}[/tex3] = K, podemos concluir que:

a) [tex3]V_{2}[/tex3] = 3K e [tex3]V_{3}[/tex3] = 9K
b) [tex3]V_{2}[/tex3] = 8K e [tex3]V_{3}[/tex3] = 27K
c) [tex3]V_{2}[/tex3] = 7K e [tex3]V_{3}[/tex3] = 19K
d) [tex3]V_{2}[/tex3] = 6K e [tex3]V_{3}[/tex3] = 27K

Resposta

---

Gabarito: C

[jedi]

sendo h a alutra do cone menor e r o raio da base então o volume V1 é

[tex3]V_1=\frac{\pi.r^2.h}{3}[/tex3]

por proproção temos que o volume do cone formado por V1 e V2 sera

[tex3]V_1+V_2=\frac{\pi.(2r)^2.2h}{3}[/tex3]

[tex3]V_1+V_2=8.\frac{\pi.r^2.h}{3}[/tex3]

[tex3]V_1+V_2=8.V_1[/tex3]

[tex3]V_2=7.V_1[/tex3]

e temos que

[tex3]V_1+V_2+V_3=\frac{\pi.(3r)^2.3h}{3}[/tex3]

[tex3]V_1+V_2+V_3=27.\frac{\pi.r^2h}{3}[/tex3]

[tex3]V_1+7.V_2+V_3=27.V_1[/tex3]

[tex3]V_3=19.V_1[/tex3]

[ttbr96]

outra maneira de resolução:

ao seccionarmos um cone reto por dois planos paralelos a sua base e destacarmos os triângulos retângulos, teremos:

fig7.png (33.72 KiB) Exibido 2979 vezes

onde:
h1 + h2 + h3 = 3h

por semelhança de triângulos obteremos:

[tex3]\frac{3h}{r} = \frac{2h}{r1} \rightarrow r1 = \frac{2r}3[/tex3]

[tex3]\frac{3h}{r} = \frac{h}{r2} \Rightarrow r2 = \frac{r}3[/tex3]

daí:

[tex3]v1 = k \\\\\\
k = \frac{\pi (\frac{r}3)^2 h}3 \\\\\\
k = \frac{\pi r^2 h}{27}[/tex3]

logo:
[tex3]v2 = \frac{\pi (\frac{2r}3)^2 h}3 - v1 \\\\\\
v2 = \frac{\pi 4r^2 2h}{27} - v1 \\\\\\
v2 = \frac{8 \pi r^2 h}{27} - v1 \\\\\\
v2 = 8k - k \\\\\\
v2 = 7k[/tex3]



[tex3]v3 = \frac{\pi r^2 3h}3 - v2 - v1 \\\\\\
v3 = \pi r^2 h - v2 - v1 \\\\\\
v3 = 27k - 7k - k \\\\\\
v3 = 19k[/tex3]

para obter o valor de [tex3]\pi r^2 h = 27k[/tex3](montar regra de três):

[tex3]k = \frac{\pi r^2 h}{27}[/tex3]
[tex3]x = pi r^2 h[/tex3]

então:
[tex3]\frac{k}{x} = \frac{\frac{\pi r^2 h}{27}}{\pi r^2 h} \\\\\\
x = 27k[/tex3]