Concursos Públicos ⇒ (CEV/UECE-SEDUC/CE 2006) Geometia plana Tópico resolvido

[cicero444]

Em cada vértice P,Q,R e S de um quadrado, cujo lado mede 40 km, está instalado um gerador em um ponto E, que seja equidistante de P e Q e da estrada retilínea que liga R e S. O ponto E fica localizado
A) no centro do quadrado PQRS
B) na perpendicular à estrada que liga R a S por seu ponto médio ficando a 23 km desta.
C) na perpendicular à estrada que liga R a S por seu ponto médio, ficando a 25 km desta.
D) no vértice de um triângulo equilátero que tem PQ como um dos lados.

[csmarceloMOD]

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Veja que, a partir do traçado dos segmentos [tex3]\overline{AE}[/tex3], [tex3]\overline{QE}[/tex3] e [tex3]\overline{PE}[/tex3], o quadrado foi dividido em dois trapézios congruentes AEQR e AEPS e um triângulo isósceles EPQ cuja soma das áreas equivale a área total do quadrado.

Área do quadrado = 40² = 1600

Área do triângulo = [tex3]\frac{Ba\cdot h}{2}=\frac{40\sqrt{b^{2}-400}}{2}=20\sqrt{b^{2}-400}[/tex3]

Soma da área dos dois trapézios = [tex3]2\cdot \frac{h(B+b)}{2}=20(40+b)=20b+800[/tex3]

Igualando as áreas dos dois trapézios e do triângulo com a do quadrado:

[tex3]20b + 800 + 20\sqrt{b^{2}-400} = 1600 \\
\sqrt{b^{2}-400} = 40 - b \\
b^{2}-400 = (40-b)^{2} \\
b = 25[/tex3]

Resposta: letra C.