Ensino Médio ⇒ Inequação Irracional Tópico resolvido

[yamunaque]

Estou fazendo a revisão da matéria do ensino médio e de vez em quando tenho alguns problemas como este na hora de fazer a interseção de conjuntos soluções. Se alguém puder me ajudar e me explicar melhor a questão, agradeço muito.

[tex3]\sqrt{3-x} -\sqrt{x+1}\>{1}/{2}[/tex3]

Resposta

---

[tex3]-1\leq x< \frac{8-\sqrt{31}}{8}[/tex3]

Mas, fazendo as contas e depois a interseção dos conjuntos solução, encontrei [tex3]-1\leq x\ < \frac{8-\sqrt{31}}{8}\,\,\,\,\,ou\,\,\,\,\,\frac{8+\sqrt{31}}{8}<x\leq 3[/tex3]

[Cientista]

Tem certeza que é essa a expressão?

[yamunaque]

Tem certeza que é essa a expressão?

Desculpa, eu havia copiado a expressão da questão de baixo e não percebi. Já corrigi!

[BrunoCFS]

Poxa, eu também estou tentando fazer essa questão, mas estou encontrando como resposta:

[tex3]\frac{8-\sqrt{31}}{8}< x< \frac{8+\sqrt{31}}{8}[/tex3]

[PedroCunha]

Veja:

[tex3]\sqrt{3-x} - \sqrt{x+1}\ > \frac{1}{2} \Leftrightarrow 3 - x - 2 \cdot \sqrt{(3-x) \cdot (x+1)} + x + 1 > \frac{1}{4} \therefore \\\\ -2\sqrt{-x^2+2x + 3} + 4 > \frac{1}{4} \therefore -2\sqrt{-x^2+2x+3} > \frac{1}{4} - 4 \therefore \\\\ -2\sqrt{-x^2+2x+3} >- \frac{15}{4} \therefore \sqrt{-x^2+2x+3}< \frac{15}{8} \therefore -x^2 + 2x + 3 < \frac{225}{64} \therefore \\\\\ -x^2 + 2x + 3 - \frac{225}{64} < 0 \rightarrow \frac{-64x^2 + 128x + 192 - 225}{64} < 0 \therefore \\\\ -64x^2 + 128x - 33 < 0 \Leftrightarrow x = \frac{-128 \pm 16\sqrt{31}}{-128} \\\\ \rightarrow x < \frac{8 - \sqrt{31}}{8} \text{ ou } x > \frac{8 + \sqrt{31}}{8}[/tex3]

No entanto, veja que devemos ter:

[tex3]3-x \geq 0 \rightarrow x \leq 3 \\\\
x + 1 \geq 0 \rightarrow x \geq - 1[/tex3]

Logo:

[tex3]S\{ -1 \leq x < \frac{8 - \sqrt{31}}{8} \,\, \cup \,\, \frac{8 + \sqrt{31}}{8} < x \leq 3 \}[/tex3]

Encontrei o mesmo que você,yamunaque. Mas ambos estamos errados, pois o gabarito dado por você confere com o WolframAlpha.

[PedroCunha]

Estava pensando. Pode ser que o que aconteça seja o seguinte:

Da mesma forma que ao resolvermos equações irracionais devemos testar as raízes, ao resolvermos inequações irracionais, devemos testar os intervalos, pois ao elevarmos ao quadrado podemos induzir o aparecimento de raízes estranhas. Sendo assim, veja que para [tex3]\frac{8+\sqrt{31}}{8} < x \leq 3[/tex3], a inequação não é satisfeita. Testando com o extremo e com o [tex3]2[/tex3], temos:

[tex3]\circ \sqrt{3 -3} - \sqrt{3 + 1} > \frac{1}{2} \Leftrightarrow \xcancel{-2 > \frac{1}{2}} \text{ Absurdo} \\\\
\circ \sqrt{3-2} - \sqrt{2+1} > \frac{1}{2} \Leftrightarrow \xcancel{1 - \sqrt3 > \frac{1}{2}} \text{ Absurdo}[/tex3]

De forma que ficamos com: [tex3]S \{ -1 \leq x < \frac{8 - \sqrt{31}}{8} \}[/tex3].

Penso que seja isso.

Att.,
Pedro

[Juniorhw]

Fiz assim:

[tex3]\sqrt{x+1}<\sqrt{3-x}-\frac{1}{2}[/tex3]

Vejam que devemos ter a condição:
[tex3]\sqrt{3-x}-\frac{1}{2}>0\to \sqrt{3-x}>\frac{1}{2}\to 3-x>\frac{1}{4}\to x<\frac{11}{4}\,\,(i)[/tex3]

Elevando ao quadrado:
[tex3]x+1<3-x-\sqrt{3-x}+\frac{1}{4}\\\\\sqrt{3-x}<\frac{9}{4}-2x[/tex3]

Novamente:

[tex3]\frac{9}{4}-2x>0\to x<\frac{9}{8}\,\,(ii)\\\\\\3-x<\frac{81}{16}-9x+4x^2\\\\x<\frac{8-\sqrt{31}}{8}\,\,ou\,\,x>\frac{8+\sqrt{31}}{8}\,\,(iii)[/tex3]

Além disso:

[tex3]x+1\geq 0\to x\geq-1\,\,(iv)[/tex3] e [tex3]3-x\geq 0\to x\leq3\,\,(v)[/tex3]

Intersecção entre as 5 condições:

[tex3]\boxed{-1\leq x < \frac{8-\sqrt{31}}{8}}[/tex3]

Abraço.

[Cientista]

Desculpem-me a pergunta, mais eu posso elevar ambos os lados ao quadrado? para poder eleminar essa raiz? embora o valor difere.

[Vinisth]

Você pode elevar ao quadrado sim, deste que obedeça alguns pequenos detalhes.

1. Se o número for menor que 0, o quadrado é sempre maior que o número.
2. Se o número estiver entre 0 e 1, o quadrado é sempre menor do que o número.
3. Se o número for maior que 1, o quadrado é sempre maior do que o número.

Outra maneira de resolver o problema é notar isso:
[tex3]\sqrt{3-x} - \sqrt{x+1} >{1}/{2}[/tex3]
[tex3]\sqrt{3-x}> \sqrt{x+1} \implies -1\leq x <1[/tex3]

Abraço.

[yamunaque]

Fiz assim:

[tex3]\sqrt{x+1}<\sqrt{3-x}-\frac{1}{2}[/tex3]

Vejam que devemos ter a condição:
[tex3]\sqrt{3-x}-\frac{1}{2}>0\to \sqrt{3-x}>\frac{1}{2}\to 3-x>\frac{1}{4}\to x<\frac{11}{4}\,\,(i)[/tex3]

Elevando ao quadrado:
[tex3]x+1<3-x-\sqrt{3-x}+\frac{1}{4}\\\\\sqrt{3-x}<\frac{9}{4}-2x[/tex3]

Novamente:

[tex3]\frac{9}{4}-2x>0\to x<\frac{9}{8}\,\,(ii)\\\\\\3-x<\frac{81}{16}-9x+4x^2\\\\x<\frac{8-\sqrt{31}}{8}\,\,ou\,\,x>\frac{8+\sqrt{31}}{8}\,\,(iii)[/tex3]

Além disso:

[tex3]x+1\geq 0\to x\geq-1\,\,(iv)[/tex3] e [tex3]3-x\geq 0\to x\leq3\,\,(v)[/tex3]

Intersecção entre as 5 condições:

[tex3]\boxed{-1\leq x < \frac{8-\sqrt{31}}{8}}[/tex3]

Abraço.

Acredito que deva ser isso, obrigado!