Ensino Superior ⇒ Cálculo II - Inverter a Integral

[Loreto]

Calcule a integral [tex3]\int\limits_{0}^{1}\int\limits_{x}^{1}2sen(y^2)dydx[/tex3]. (Sugestão : Inverta a ordem de integração).

Não sei inverter a ordem de integração das integrais !!
Obrigado !

[ManUtd]

Calcule a integral [tex3]\int\limits_{0}^{1}\int\limits_{x}^{1}2sen(y^2)dydx[/tex3]. (Sugestão : Inverta a ordem de integração).

Não sei inverter a ordem de integração das integrais !!
Obrigado !

A nossa integral é do tipo [tex3]dydx[/tex3] após a inversão será do tipo [tex3]dxdy[/tex3].Quando todos os limites de integração são constantes bastar aplicar o teorema de fubini,porém nesse caso os limites de [tex3]dy[/tex3] são funções ,então não podemos simplesmente trocar a ordem dos integrais interados.



O primeiro a fazer sempre é esboçar:

Inversão.png (17.41 KiB) Exibido 28547 vezes

Lembrando que os limites de integraçaõ [tex3]dx[/tex3] serão funções e em [tex3]dy[/tex3] serão constantes.Olhando o gráfico percebemos que [tex3]0 \leq x \leq y[/tex3] (veja que a função [tex3]y=x[/tex3] tem maior valor no eixo "x" do que reta [tex3]x=0[/tex3] ), e percebemos tbm que [tex3]0 \leq y \leq 1[/tex3] . então :


[tex3]\int_{0}^{1} \; \int_{0}^{y} \; 2sen(y^2) \;dxdy[/tex3]

[Loreto]

Obrigado pela ajuda.
Abraço ! ;D

[Loreto]

Posso dizer que depois de desenhar o intervalo de integração, sempre vou pegar o lado oposto do desenho do gráfico inicial ?

Por exemplo, sabemos que 0 [tex3]\leq[/tex3] x [tex3]\leq[/tex3] y e 0 [tex3]\leq[/tex3] y [tex3]\leq[/tex3] 1 . Desenhando esse gráfico temos a região de baixo que você pintou de vermelho, então, como eu inverti a integral, pego a região pintada em vermelho. Posso seguir assim os exercícios ? Parecem que eles tender a seguir essa ordem.

[ManUtd]

Posso dizer que depois de desenhar o intervalo de integração, sempre vou pegar o lado oposto do desenho do gráfico inicial ?

Não, deve sempre pegar a mesma região, quando a ordem é invertida tem que dar o mesmo resultado , a diferença é que a primeira integral era da ordem [tex3]\int \; dydx[/tex3] e depois de invertida virou [tex3]\int \; dxdy[/tex3], mas lembre-se essas duas ordem tem dar o mesmo valor porque é a mesma área de integração.

Por exemplo, sabemos que 0 [tex3]\leq[/tex3] x [tex3]\leq[/tex3] y e 0 [tex3]\leq[/tex3] y [tex3]\leq[/tex3] 1 . Desenhando esse gráfico temos a região de baixo que você pintou de vermelho, então, como eu inverti a integral, pego a região pintada em vermelho. Posso seguir assim os exercícios ? Parecem que eles tender a seguir essa ordem.

Não. Desenhando o gráfico obtemos a mesma área em vermelho, a região de baixo é dada por [tex3]y \leq x \leq 1[/tex3] e [tex3]0 \leq y \leq 1[/tex3].

[Loreto]

Inicialmente eu devo desenhar a minha área de integração, para visualizar o espaço onde ocorrerá a inversão. Até aí eu consigo. O problema é que eu não sei inverter. As vezes a integral é particionada...mas tenho dificuldade em inverter essa área limitada.
Sei que ocorre a inversão do dxdy para dydx....já assisti alguns vídeos tbm, mas não ajudou muito. Minha prof. tinha comentado algo sobre rotacionar o gráfico, mas nesse exemplo não preciso de fazer nada disso.

http://www.calculo.iq.unesp.br/Caderno% ... roller.swf

De qualquer forma, obrigado