Concursos Públicos ⇒ (CEV/UECE-SEDUC/CE 2004) Determinantes Tópico resolvido

[cicero444]

Considere as matrizes

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Se o determinante da matriz X é igual a k (k ≠0), então det Y + det Z + det W é igual a
A) 10 k
B) 8 k
C) 6 k
D) 4 k

[PedroCunha]

Não é possível ver a matriz.

Att.,
Pedro

[cicero444]

X=[tex3]\begin{pmatrix}
a & b & c \\
d & e & f \\
g & h & i \\
\end{pmatrix}[/tex3]
Y=[tex3]\begin{pmatrix}
a & d & g \\
b & e & h \\
c & f & i \\
\end{pmatrix}[/tex3]
Z=[tex3]\begin{pmatrix}
a & b & c \\
g & h & i \\
d & e & f \\
\end{pmatrix}[/tex3]
W=[tex3]\begin{pmatrix}
2a & 2b & 2c \\
2d & 2e & 2f \\
2g & 2h & 2i \\
\end{pmatrix}[/tex3]

[PedroCunha]

Veja que a matriz [tex3]Y[/tex3] é a transposta da matriz [tex3]X[/tex3] e por isso seus determinantes são iguais.

A matriz [tex3]Z[/tex3] é a matriz [tex3]X[/tex3] com a segunda linha trocada com a terceira e portanto seu determinante é o oposto do determinante de [tex3]X[/tex3].

Por fim, repare que a matriz [tex3]W[/tex3] é a matriz [tex3]X[/tex3] multiplicada por [tex3]2[/tex3]. Como [tex3]X[/tex3] é uma matriz de 3ª ordem, o determinante de [tex3]W[/tex3] é igual à [tex3]2^3[/tex3] vezes o determinante de [tex3]X[/tex3].

Logo: [tex3]\det Y + \det Z + \det W = k - k + 8k = 8k[/tex3].

Resposta: alternativa B .

Att.,
Pedro