Ensino Fundamental ⇒ Quantidade de zeros na base 6 Tópico resolvido

[menelaus]

Determinar o número de zeros em que termina o produto gerado por [tex3]1\cdot 2\cdot 3\cdots555[/tex3] , quando o mesmo for escrito no sistema de base [tex3]6[/tex3] .

Resposta

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[tex3]103[/tex3]

[cajuADMIN]

Olá menelaus,

Este enunciado pode gerar uma certa dificuldade de interpretação quanto aos fatores do produtório estarem escritos na base [tex3]10[/tex3] ou na base [tex3]6[/tex3].

O termo "o mesmo" no enunciado se refere ao "produto gerado". Ou seja, o resultado da multiplicação daqueles fatores (que estão na base [tex3]10[/tex3] por falta de representação) será um número na base [tex3]10[/tex3]. E, após saber este número, devemos converter ele para base [tex3]6[/tex3] e contar quantos zeros termina tal número.

É claro que não iremos efetuar a multiplicação e a conseguinte transformação.

Iremos utilizar o fato que diz que a maior potência de [tex3]6[/tex3] que estiver presente na fatoração do número será a quantidade de zeros que o número possui na representação na base [tex3]6[/tex3].

Para tal, vamos descobrir quantos múltiplos de [tex3]3[/tex3] e [tex3]2[/tex3] existem no número e concluir a maior potência de [tex3]6[/tex3].

Note que, sendo uma sequência de números consecutivos, é óbvio que terá mais fatores múltiplos de [tex3]2[/tex3] do que de [tex3]3[/tex3]. Portanto, se descobrirmos quantos fatores múltiplos de [tex3]3[/tex3] há no número, com certeza haverá uma mesma quantidade de fatores [tex3]2[/tex3] para combinarmos com estes fatores [tex3]3[/tex3] e gerarmos um fator [tex3]6[/tex3].

Na sequência 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ... , 555 há 555/3 = 185 múltiplos de [tex3]{3}[/tex3]

Mas, nos números múltiplos de [tex3]9[/tex3] teremos [tex3]2[/tex3] fatores [tex3]3[/tex3], e só estamos contando um deles. Assim, devemos adicionar ao [tex3]185[/tex3] uma unidade para cada múltiplo de [tex3]9[/tex3] que houver na sequência.

Na sequência 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ... , 555 há 555/9 = 61 múltiplos de [tex3]{3^2}[/tex3]

Idem para os múltiplos de [tex3]27[/tex3]:

Na sequência 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ... , 555 há 555/27 = 20 múltiplos de [tex3]{3^3}[/tex3]

Na sequência 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ... , 555 há 555/81 = 6 múltiplos de [tex3]{3^4}[/tex3]

Na sequência 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ... , 555 há 555/243 = 2 múltiplos de [tex3]{3^5}[/tex3]

Portanto, podemos concluir que no produto [tex3]1\cdot 2\cdot 3\cdots 555[/tex3] há [tex3]185+61+20+6+2=\boxed{274}[/tex3] fatores [tex3]3[/tex3]. E, pelo raciocínio já feito, teremos [tex3]274[/tex3] fatores [tex3]6[/tex3].

Então, na base [tex3]10[/tex3] pode-se escrever:

[tex3]1\cdot 2\cdot 3\cdots 555=x\cdot 6^{274}[/tex3]

Onde [tex3]x[/tex3] representa todos os outros fatores do produtório que são diferentes de qualquer múltiplo de [tex3]6[/tex3].

Assim, concluímos que o produto gerado por [tex3]1\cdot 2\cdot 3\cdots555[/tex3], quando escrito na base [tex3]6[/tex3] terminará com [tex3]274[/tex3] zeros.

Grande abraço,
Prof. Caju

[Cássio]

"Iremos utilizar o fato que diz que a maior potência de 6 que estiver presente na fatoração do número será a quantidade de zeros que o número possui na representação na base 6."

Qual a justificativa para este fato?

[cajuADMIN]

Olá Cássio,

Seja [tex3]N[/tex3] um número na base [tex3]6[/tex3] com [tex3]k[/tex3] algarismos:

[tex3]N_6=(n_kn_{k-1}...n_2n_1n_0)_6[/tex3]

Onde [tex3]n_k[/tex3] são os algarimos de [tex3]N_6[/tex3].

Escrevendo este número na base [tex3]10[/tex3]:

[tex3]N_{10}=n_k\cdot 6^k+n_{k-1}\cdot 6^{k-1}+...+n_2\cdot 6^2+n_1\cdot 6^1+n_0\cdot 6^0[/tex3]

Sendo [tex3]k>q>0[/tex3], digamos que [tex3]N[/tex3] termine em [tex3]q[/tex3] algarismos zero:

[tex3]N_{10}=n_k\cdot 6^k+n_{k-1}\cdot 6^{k-1}+...+n_q\cdot 6^q+0\cdot 6^{q-1}+0\cdot 6^{q-2}+...+0\cdot 6^2+0\cdot 6^1+0\cdot 6^0[/tex3]

[tex3]N_{10}=n_k\cdot 6^k+n_{k-1}\cdot 6^{k-1}+...+n_q\cdot 6^q[/tex3]

Agora podemos colocar o [tex3]6^q[/tex3] em evidência:

[tex3]N_{10}=6^q\cdot \left(n_k\cdot 6^{k-q}+n_{k-1}\cdot 6^{k-1-q}+...+n_q\right)[/tex3]

Dentro dos parênteses temos o que eu representei de [tex3]x[/tex3] na minha resolução, e fora dos parênteses temos a maior potência de [tex3]6[/tex3] da fatoração do número.

Podemos provar que o número dentro do parênteses não é múltiplo de [tex3]6[/tex3] pelo fato de [tex3]n_q[/tex3] ser um número entre [tex3]0[/tex3] e [tex3]5[/tex3], inclusive (pois é um algarismo de [tex3]N_6[/tex3]), e todas as outras parcelas serem múltiplas de [tex3]6[/tex3] (assim concluímos que [tex3]6^q[/tex3] é, realmente, a maior potência de [tex3]6[/tex3] da fatoração de [tex3]N_{10}[/tex3]).

Sei que esta demonstração pareceu um pouco comprida e difícil, mas se você pensar na base [tex3]10[/tex3] e base [tex3]2[/tex3] verá que é uma propriedade bem lógica.

Grande abraço,
Prof. Caju