Ensino Superior ⇒ Geometria Analítica no Espaço: Ângulo entre Reta e Plano Tópico resolvido

[Jorge Luiz]

o ângulo agudo formado entre a reta r: (x,y,z) = (2+3t,-4t,-1+5t) e o plano [tex3]\pi[/tex3]:2x-y+7z-1=0 em radianos é:

[Karl Weierstrass]

Determine o ângulo agudo (em radianos) formado entre a reta [tex3]r:\, (x,y,z) = (2+3t,-4t,-1+5t)[/tex3] e o plano [tex3]\pi :\,2x-y+7z-1=0[/tex3].

A reta [tex3]r[/tex3] tem a direção do vetor [tex3]\vec{v}=(3,\,-4,\,5)[/tex3] e [tex3]\vec{n}=(2,\,-1,\,7)[/tex3] é um vetor normal ao plano [tex3]\pi[/tex3].

Seja [tex3]\zeta[/tex3] o ângulo que a reta [tex3]r[/tex3] forma com o plano [tex3]\pi[/tex3]. Temos:

[tex3]\hspace{70pt}\text{sen}\zeta=\frac{|\vec{v}\cdot\vec{n}|}{|\vec{v}||\vec{n}|}=\frac{|(3,\,-4,\,5)\cdot(2,\,-1,\,7)|}{\sqrt{9+16+25}\sqrt{4+1+49}}=\frac{|6+4+35|}{\sqrt{50}\sqrt{54}}=\frac{45}{5\sqrt{2}\cdot3\sqrt{6}}=\frac{3}{2\sqrt 3}=\frac{\sqrt{3}}{2}[/tex3]

Portanto,

[tex3]\hspace{70pt}\zeta=\text{arcsen}\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{\pi}{3}\,\text{rad}[/tex3].



[tex3]\,[/tex3]