Ensino Fundamental ⇒ Geometria Plana Tópico resolvido

[juniorcesar]

Dois ângulos adjacentes AOB e BOC foram desenhados,formando um ângulo de 106. sejam OX e OY as bissetrizes de BOC e AOB, respectivamente.traça-se OZ perpendicular a OX.Calcule a medida do menor ângulo BOZ possível.

Resposta

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[juniorcesar]

@juniorcesar,
Gabarito errado, o correto é 37^o
Caso queira é só deslocar o ponto B até A no desenho abaixo

https://www.geogebra.org/classic/phhs8m66
Sejam:[tex3]m(A\hat{O}B) = 2\alpha\\m(B\hat{O}C) = 2\beta[/tex3]
Pelo enunciado, os ângulos são adjacentes e sua soma é [tex3]106^\circ:2\alpha + 2\beta = 106^\circ \implies \alpha + \beta = 53^\circ[/tex3].
OY é bissetriz de[tex3]A\hat{O}B[/tex3], logo divide o ângulo em dois de medida [tex3]\alpha[/tex3].
OX é bissetriz de [tex3]B\hat{O}C[/tex3], logo divide o ângulo em dois de medida [tex3]\beta[/tex3].
O enunciado afirma que OZ é perpendicular a OX. portanto [tex3]X\hat{O}Z =90^\circ[/tex3].
Existem duas posições possíveis para OZ em relação a OX:
Caso 1: OZ afastando-se de OB.
Caso 2: OZ aproximando-se e ultrapassando OB.
O ângulo [tex3]X\hat{O}B = \beta[/tex3] (pois OX é bissetriz de [tex3]B\hat{O}C[/tex3]).Pela geometria da disposição: [tex3]m(B\hat{O}Z) = |m(X\hat{O}Z) - m(X\hat{O}B)|\\m(B\hat{O}Z) = |90^\circ - \beta|[/tex3]
Para que [tex3]B\hat{O}Z[/tex3] seja o menor possível, o valor de [tex3]\beta[/tex3] deve ser o maior possível, aproximando-se de [tex3]90^\circ[/tex3].
[tex3]\alpha + \beta = 53^\circ[/tex3]
Como [tex3]\alpha [/tex3] e [tex3]\beta [/tex3]representam medidas de ângulos ambos devem ser maiores que zero. O valor máximo que [tex3]\beta[/tex3] pode assumir é imediatamente inferior a [tex3]53^\circ[/tex3] (quando [tex3]\alpha[/tex3] tende a[tex3] 0^\circ[/tex3]).
Substituindo o valor limite de [tex3]\beta[/tex3]: [tex3]m(B\hat{O}Z) = 90^\circ - 53^\circ = 37^\circ[/tex3]
Se considerássemos a outra direção para OZ, o ângulo seria [tex3]90^\circ + \beta[/tex3], o que resultaria em um valor muito maior.