Ensino Superior ⇒ MATRIZES Geometria Analitica e Algebra Linear

[MJUNIOR]

Dadas as matrizes: [tex3]A=\begin{pmatrix}
4 & 12 \\
0 & 8 \\
\end{pmatrix}[/tex3], [tex3]B= \begin{pmatrix}
x & 5 \\
z & y \\
\end{pmatrix}[/tex3], [tex3]C= \begin{pmatrix}
6z & 15 \\
\frac{3x}{4} & 3x \\
\end{pmatrix}[/tex3], [tex3]D= \begin{pmatrix}
y & 0 \\
4y & 3z \\
\end{pmatrix}[/tex3], [tex3]E= \begin{pmatrix}
6 & 36 \\
1 & 8 \\
\end{pmatrix}[/tex3] determine os valores de [tex3]x[/tex3], [tex3]y[/tex3] e [tex3]z[/tex3] que satisfaçam a seguinte igualdade [tex3]\frac{3}{4} A + \frac{7}{5} B+\frac{4}{3} C + 2D = E[/tex3]

[candre]

dos dados temos:
[tex3]A=\begin{pmatrix}4 & 12 \\ 0 & 8 \\ \end{pmatrix},B= \begin{pmatrix}x & 5 \\ z & y \\ \end{pmatrix},C= \begin{pmatrix}6z & 15 \\ \frac{3x}{4} & 3x \\ \end{pmatrix},D= \begin{pmatrix}y & 0 \\ 4y & 3z \\ \end{pmatrix}[/tex3] e [tex3]E= \begin{pmatrix}6 & 36 \\ 1 & 8 \\ \end{pmatrix}[/tex3]
temos de determinar os valores de [tex3]x,y,z[/tex3] tal que:
[tex3]\dfrac{3}{4}A+\dfrac{7}{5}B+\dfrac{4}{3}C+2D=E[/tex3]
substituindo os dados temos:
[tex3]\dfrac{3}{4}\begin{pmatrix}4 & 12 \\ 0 & 8 \\ \end{pmatrix}+\dfrac{7}{5}\begin{pmatrix}x & 5 \\ z & y \\ \end{pmatrix}+\dfrac{4}{3} \begin{pmatrix}6z & 15 \\ \frac{3x}{4} & 3x \\ \end{pmatrix}+2\begin{pmatrix}y & 0 \\ 4y & 3z \\ \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}6 & 36 \\ 1 & 8 \\ \end{pmatrix}[/tex3]
temos que a multiplicação de uma matriz por um numero real e feita multiplicando os números de dentro pelo valor real que esta sendo multiplicado, tendo:
[tex3]\dfrac{3}{4}\begin{pmatrix}4 & 12 \\ 0 & 8 \\ \end{pmatrix}+\dfrac{7}{5}\begin{pmatrix}x & 5 \\ z & y \\ \end{pmatrix}+\dfrac{4}{3} \begin{pmatrix}6z & 15 \\ \frac{3x}{4} & 3x \\ \end{pmatrix}+2\begin{pmatrix}y & 0 \\ 4y & 3z \\ \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}6 & 36 \\ 1 & 8 \\ \end{pmatrix}\\
\begin{pmatrix}\dfrac{3}{4}\cdot4 & \dfrac{3}{4}\cdot12 \\ 0 & 8\cdot\dfrac{3}{4} \\ \end{pmatrix}+\begin{pmatrix}\dfrac{7}{5}\cdot x & \dfrac{7}{5}\cdot5 \\ \dfrac{7}{5}\cdot z & \dfrac{7}{5}\cdot y \\ \end{pmatrix}+ \begin{pmatrix}\dfrac{4}{3}\cdot6z & \dfrac{4}{3}\cdot15 \\ \dfrac{4}{3}\cdot\frac{3x}{4} & \dfrac{4}{3}\cdot3x \\ \end{pmatrix}+\begin{pmatrix}2y & 0 \\ 8y & 6z \\ \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}6 & 36 \\ 1 & 8 \\ \end{pmatrix}\\
\begin{pmatrix}3 & 9 \\ 0 & 6 \\ \end{pmatrix}+\begin{pmatrix}\dfrac{7}{5}x & 7 \\ \dfrac{7}{5} z & \dfrac{7}{5} y \\ \end{pmatrix}+ \begin{pmatrix}8z & 20 \\ x & 4x \\ \end{pmatrix}+\begin{pmatrix}2y & 0 \\ 8y & 6z \\ \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}6 & 36 \\ 1 & 8 \\ \end{pmatrix}[/tex3]
efetuando a soma temos
[tex3]\begin{pmatrix}3+\dfrac{7}{5}x+8z+2y&9+7+20+0\\0+\dfrac{7}{5}z+x+8y&6+\dfrac{7}{5}y+4x+6z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}6&36\\1&8\end{pmatrix}\\
\begin{pmatrix}3+\dfrac{7}{5}x+2y+8z&36\\x+8y+\dfrac{7}{5}z&6+4x+\dfrac{7}{5}y+6z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}6&36\\1&8\end{pmatrix}[/tex3]
obtendo:
[tex3]3+\dfrac{7}{5}x+2y+8z=6\Rightarrow\dfrac{15+7x+10y+40z}{5}=\dfrac{30}{5}\Rightarrow
7x+10y+40z=15[/tex3]

[tex3]36=36[/tex3] verdadeiro

[tex3]x+8y+\dfrac{7}{5}z=1\Rightarrow\dfrac{5x+40y+7z}{5}=\dfrac{5}{5}\Rightarrow
5x+40y+7z=5[/tex3]

[tex3]6+4x+\dfrac{7}{5}y+6z=8\Rightarrow\dfrac{30+20x+7y+30z}{5}=\dfrac{40}{5}\Rightarrow20x+7y+30z=10[/tex3]

temos então o sistema
[tex3]\begin{cases}7x+10y+40z=15\\5x+40y+7z=5\\20x+7y+30z=10\end{cases}[/tex3]
resolvendo por cramer, achando o discriminante do sistema temos:
[tex3]\Delta=\begin{vmatrix}7&10&40\\5&40&7\\20&7&30\end{vmatrix}=-22643[/tex3]
[tex3]\Delta x=\begin{vmatrix}15&10&40\\5&40&7\\10&7&30\end{vmatrix}=1865[/tex3]
[tex3]x=\dfrac{\Delta x}{\Delta}=-\frac{1865}{22643}[/tex3]
[tex3]\Delta y=\begin{vmatrix}7&15&40\\5&5&7\\20&10&30\end{vmatrix}=-1590[/tex3]
[tex3]y=\dfrac{\Delta y}{\Delta}=\frac{1590}{22643}[/tex3]
[tex3]\Delta z=\begin{vmatrix}7&10&15\\5&40&5\\20&7&10\end{vmatrix}=-8420[/tex3]
[tex3]z=\dfrac{\Delta z}{\Delta}=\dfrac{8420}{22643}[/tex3]
tendo como solução
[tex3](x,y,z)=\left(-\frac{1865}{22643},\frac{1590}{22643},\dfrac{8420}{22643}\right)[/tex3]
verificando as soluções:
[tex3]7x+10y+40z=\dfrac{-13055+15900+336800}{22643}=\frac{339645}{22643}=15[/tex3]
[tex3]5x+40y+7z=\dfrac{-9325+63600+58940}{22643}=\dfrac{113215}{22643}=5[/tex3]
[tex3]20x+7y+30z=\dfrac{-37300+11130+252600}{22643}=\dfrac{226430}{22643}=10[/tex3]
como as três equações foram verificadas, então a solução que satisfaz o enunciado é:
[tex3](x,y,z)=\left(-\frac{1865}{22643},\frac{1590}{22643},\dfrac{8420}{22643}\right)[/tex3]