Ensino Médio ⇒ Elipse e Hipérbole Tópico resolvido

[Cientista]

Encontra a equação da elipse que tem centro na orgiem, eixo maior sobre o eixo dos [tex3]x[/tex3] e passa pelos pontos [tex3](4;3)[/tex3] e [tex3](6,2)[/tex3].

Dentro desta questão peço que me tirem duas dúvidas:

1. O que quer dizer quando dizem centro é a origem ou com centro na origem?
2. Como é que se determina as coordenadas dos focos de uma elipse?

Obrigado pela atenção.

Resposta

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x^{2}+4y^{2}=52

[Cientista]

Alguêm? :\

[Juniorhw]

Ter centro na origem é ter centro na coordenada [tex3](0,0)[/tex3]. A equação da elipse fica então:

[tex3]\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1[/tex3]

onde [tex3]a[/tex3] é a metade da distância do eixo maior, que no caso é horizontal (sobre o eixo x). Do enunciado tiramos:

[tex3]\frac{4^2}{a^2}+\frac{3^2}{b^2}=1\Leftrightarrow 16b^2+9a^2=a^2b^2 \\\\\frac{6^2}{a^2}+\frac{2^2}{b^2}=1\Leftrightarrow 36b^2+4a^2=a^2b^2[/tex3]

Igualando as duas relações:

[tex3]16b^2+9a^2=36b^2+4a^2\\\\4b^2=a^2\\\\2b=a[/tex3]

Substituindo em qualquer uma:

[tex3]16b^2+9(2b)^2=(2b)^2b^2\\\\16+36=4b^2\\\\b=\sqrt{13}\\\\a=2\sqrt{13}[/tex3]

Então a equação é:

[tex3]\frac{x^2}{\left(2\sqrt{13}\right)^2}+\frac{y^2}{\left(\sqrt{13}\right)^2}=1\\\\\frac{x^2}{52}+\frac{y^2}{13}=1\\\\\boxed{x^2+4y^2=52}[/tex3]

Em relação a achar as coordenadas do foco da elipse você pode usar a relação [tex3]a^2=b^2+c^2[/tex3], onde [tex3]c[/tex3] é a semidistância focal, ou seja, a distância do centro até o foco. Conhecendo o centro da elipse e [tex3]c[/tex3] é possível achar essas coordenadas. Por exemplo no exercício: [tex3](2\sqrt{13})^2=\sqrt{13}^2+c^2\to c=\sqrt{39}[/tex3]. Temos que as coordenadas dos focos então serão: [tex3](\pm\sqrt{39},0)[/tex3]

Abraço.

[Cientista]

Júnior a semedistância focal tem algum outro nome? E especificando-se a parte dos eixos, apartir da fórmula o que é o eixo menor e eixo maior?

[Juniorhw]

Que eu saiba não tem outro nome, [tex3]2c[/tex3] é a distância focal (distância entre os focos), [tex3]c[/tex3] então é a metade da distância focal. A fórmula da elipse com centro na origem é (chamando de [tex3]a[/tex3] a metade da distância do maior eixo e de [tex3]b[/tex3] a metade da distância do menor eixo):

[tex3]\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1[/tex3]
Se o eixo maior estiver na horizontal.

ou

[tex3]\frac{x^2}{b^2}+\frac{y^2}{a^2}=1[/tex3]
Se o eixo maior estiver na vertical

Veja a imagem:

rsz_wiki_elipse_tt.jpg (15.52 KiB) Exibido 640 vezes

Abraço.

[Cientista]

Entendi! Júnior essa imagem você tirou de algum Link/site? Seria útil para mim algum site que fale sobre Geoemtria Analitica...