Ensino Superior ⇒ Continuidade de Funções e Limite Tópico resolvido

[soaresv]

Pessoal, não entendo porque chamar funções trigonométricas como a função inversa da tangente(arc tg) de "contínuas", já que:

[tex3]tan \alpha = \frac{sen\alpha }{cos\alpha }[/tex3] dado que para [tex3]\alpha =\frac{\pi }{2}[/tex3], [tex3]sen\alpha =1[/tex3] e [tex3]cos\alpha =0[/tex3], sendo impossível dividir algo por 0, logo arc tg não é contínua em [tex3]\frac{\pi}{2}[/tex3]. Não sei ao certo, mas o que penso é que uma função somente é continua, SE FOR CONTINUA EM TODOS OS PONTOS e não apenas nos pontos de seu dominio, que nesse caso o domínio é: [tex3]D = \mathbb{R}- (\frac{\pi }{2}\pm \pi k)[/tex3], com k [tex3]\in \mathbb{Z}[/tex3].

Outra coisa que não consigo entender, é:
[tex3]\lim_{x \to 1} arc sen \left(\frac{1 - \sqrt{x}}{1-x}\right) = \frac{\pi }{6}[/tex3]

- Usando a continuidade da função arc sen podemos escrever:
[tex3]arc sen\left(\lim_{x \to 1} \left(\frac{1 - \sqrt{x}}{1-x}\right)\right)[/tex3]

Exatamente essa parte de cima! ok, compreendo que a função arc sen é continua em todos os pontos, mas pelo o que andei estudando, isso também funciona com arc tg ,sob afirmação de que todas as funções trigonométricas são continuas, porquê?

Bom pessoal, se disse algo errado, por favor me corrijam, e conto muito com a ajuda de vocês.

Grato pela atenção,
Victor Soares

[candre]

vou tentar explicar então
embora a função tangente seja descontinua em [tex3]\frac{\pi}{2}\pm \pi k,k\in\mathbb{Z}[/tex3], a função arco tangente que e a função inversa da função tangente e continua.
pela definição temos que [tex3]y=\tan(x)\Leftrightarrow x=\arctan(y)[/tex3], observe que embora a função tangente possui essas descontinuidades, ela varia de [tex3]-\infty[/tex3] a [tex3]\infty[/tex3], portanto o arco tangente sempre existe para [tex3]-\infty<x<+\infty[/tex3] pois sempre e possível achar um numero [tex3]y[/tex3] tal que: [tex3]y=\arctan(x)\Leftrightarrow x=tan(y)[/tex3] inclusive se acha vários, porem para poder criar uma função inversa você restringe essa possibilidades, que e feito restringindo o intervalo de [tex3]x[/tex3], no caso geralmente se restringe o intervalo para [tex3]-\frac{\pi}{2}<x<\frac{\pi}{2}[/tex3], assim as funções inversas das funções trigonométricas podem existir.
e também dentro de [tex3]-\frac{\pi}{2}<x<\frac{\pi}{2}[/tex3] a função [tex3]tan(x)[/tex3] e continua, então sua inversa sera continua para a imagem gerada neste intervalo, ou seja, [tex3]-\infty<x<+\infty[/tex3]