Ensino Médio ⇒ (Livro Matemática Elementar) - Inequação Tópico resolvido

[ldossantos]

Resolva o sistema de inequação em [tex3]\mathbb{R}[/tex3]:

[tex3]\begin{cases}
\frac{2x - 5}{1 - x} \leq -2 \\

\frac{x^{2} + x + 3}{x - 1} > x
\end{cases}[/tex3]

Resposta

---

S = {x [tex3]\in[/tex3] [tex3]\mathbb{R}[/tex3] | -1 < x < 1}

[Cientista]

Olá Idossantos,
Primeiramenta façamos o m.m.c para o primeiro-m.m.c[tex3](1;1-x)[/tex3] e para o segundo-m.m.c[tex3](1;x-1)[/tex3]. Resolvamos o primeiro depois o segundo, após isso iremos fazer a intersecção, assim teremos:
[tex3]2x-5\leq -2.(1-x)\rightarrow 2x-5\leq -2+2x\rightarrow x\leq 0[/tex3]. Agora façamos o segundo, assim teremos:
[tex3]x^{2}+x+3>x.(x-1)\rightarrow x^{2}-x^{2}+x+x>-3\rightarrow 2x>-3\rightarrow x>-\frac{3}{2}[/tex3]. Agora fazendo a intersecção teremos [tex3]\boxed{x\in ]-\frac{3}{2};0]}[/tex3]

[csmarceloMOD]

Idossantos,

Reveja o enunciado e o gabarito, pois os dois não batem.

Cientista,

Sua resposta também não está certa. Não se deve resolver inequações da mesma forma que se faz com equações. Em alguns casos pode dar certo; em outros, não. Substitua [tex3]x[/tex3] por alguns valores do seu intervalo e verá que sempre alguma das duas equações não será verdadeira.

Analisando a primeira equação:

[tex3]\frac{2x-5}{1-x}\leq-2
\\\\
\frac{2x-5}{1-x}+2\leq0
\\\\
\frac{2x-5+2\cdot(1-x)}{1-x}\leq0
\\\\
\frac{2x-5+2-2x}{1-x}\leq0
\\\\
\frac{-3}{1-x}\leq0\rightarrow 1-x>0\rightarrow x<1[/tex3]

Analisando a segunda equação:

[tex3]\frac{x^2+x+3}{x-1}>x
\\\\
\frac{x^2+x+3}{x-1}-x>0
\\\\
\frac{x^2+x+3-x(x-1)}{x-1}>0
\\\\
\frac{x^2+x+3-x^2+x}{x-1}>0
\\\\
\frac{2x+3}{x-1}>0[/tex3]

Para que [tex3]\frac{2x+3}{x-1}[/tex3] seja maior do que zero, devemos ter:

[tex3]2x+3>0\text{ e }x-1>0\rightarrow x>1[/tex3]
ou
[tex3]2x+3<0\text{ e }x-1<0\rightarrow x<\frac{-3}{2}[/tex3]

Para que a primeira equação seja sempre verdadeira, [tex3]x[/tex3] deve ser menor do que 1.
Para que a segunda equação seja sempre verdadeira, [tex3]x[/tex3] deve ser menor do que [tex3]\frac{-3}{2}[/tex3] ou maior do que 1.

Fazendo a interseção dos intervalos, de modo a atender o sistema, temos que [tex3]x[/tex3] deve ser menor do que [tex3]\frac{-3}{2}[/tex3].

[ldossantos]

csmarcelo,
Obrigado pela resposta. Consegui entender perfeitamente a sua resolução.
O gabarito do livro deve estar errado!

[Cientista]

Cara eu na Escola não aprendi a resolver assim! Tem algum Link que contenha resolução de Inequações? Assim eu analiso-as e mostro ao meu Professor.

[csmarceloMOD]

Provavelmente, você aprendeu apenas inequações do 1º grau, que podem ser resolvidas da forma que você falou.

Veja a equação fracionária abaixo (equação onde a incógnita aparece no denominador):

[tex3]\frac{1}{x}=1\rightarrow x\cdot\frac{1}{x}=x\cdot1\rightarrow 1=x[/tex3]

Perfeito, não? Multiplicamos ambos os lados por x e chegamos ao resultado correto.

Agora, veja o que ocorre quando temos uma inequação fracionária:

[tex3]\frac{1}{x}>1\rightarrow x\cdot\frac{1}{x}>x\cdot1\rightarrow 1>x[/tex3]

Veja que, nesse caso, a resposta está incompleta, pois, se [tex3]x[/tex3] for negativo, [tex3]\frac{1}{x}[/tex3] será menor do que zero.

A forma adequada (não sei se existe outra) de se resolver esse tipo de inequação é transformando-a em uma inequação-quociente, ou seja, uma inequação que esteja em uma das seguintes formas:

[tex3]\frac{f(x)}{g(x)}>0[/tex3], [tex3]\frac{f(x)}{g(x)}\geq0[/tex3], [tex3]\frac{f(x)}{g(x)}<0[/tex3] ou [tex3]\frac{f(x)}{g(x)}\leq0[/tex3]

Assim, segundo essa técnica, a inequação proposta é resolvida da seguinte forma:

[tex3]\frac{1}{x}>1
\\\\
\frac{1}{x}-1>0
\\\\
\frac{1-x}{x}>0[/tex3]

[tex3]\frac{1-x}{x}>0\rightarrow\begin{cases}
1-x>0\text{ e }x>0\rightarrow 0<x<1 \\
1-x<0\text{ e }x<0\rightarrow \nexists x\in\mathbb{R}
\end{cases}[/tex3]

[Cientista]

Percebi! Acho que devo mostrar isso ao meu Professor, porque inequações nunca resolvi-as assim! Quanto a parte dos denominadores, nós temos que aplicar a condição de existência(dominio) deles? Ou apenas usamos a desigualidade dessa inequação?

[csmarceloMOD]

Com certeza. Sempre devemos verificar as condições de existência de um denominador. No entanto, como, no exemplo dado, procuramos os valores de [tex3]x[/tex3] para os quais a inequação é apenas maior do que zero, os valores que fazem com que o denominador seja nulo são automaticamente descartados.