Ensino Superior ⇒ Média, Variância e Desvio Padrão Tópico resolvido

[andre.tecseg]

Boa tarde pessoal, estou com os exercícios abaixo para serem resolvidos até 19/3, por favor me ajudem! Obrigado!

1) Numa fábrica de rolamentos, retirou-se da produção de um determinado dia uma amostra de [tex3]10[/tex3] rolamentos, dos quais se mediu o diâmetro externo em mm, obtendo-se os valores:

[tex3]\begin{array}{ccccc}20,2&21,4&20,8&19,6&22,1\\21,7&20,4&22,0&20,5&19,3\end{array}[/tex3]

Calcular a média, o desvio médio, a variância e o desvio padrão dessa amostra.

2) Calcular a média, a variância e o desvio padrão da seguinte distribuição de uma variável [tex3]x[/tex3].

[tex3]\begin{array}{c|c}\text{Observações}\,\, x \text{(kg)} &f_i\\
\hline 0\vdash 10\,\, & 25\\
10\vdash 20\,\, & 48\\
20\vdash 30\,\, & 66\\
30\vdash 40\,\, & 44\\
40\vdash 50\,\, & 17\\
\hline \text{Total}& n=200 \end{array}[/tex3]

3) A tabela abaixo apresenta valores que mostram como o comprimento de uma barra de aço varia conforme a temperatura:

[tex3]\begin{array}{c|c}
\text{Temperatura}\,(^{\circ}C)& \text{Comprimento\,(mm)}& \\
\hline 10 & 1003 \\
15 & 1005 \\
20 & 1010 \\
25 & 1011\\
30 & 1014 \end{array}[/tex3]

Determine:
a) o coeficiente de correlação linear;
b) a reta de regressão linear;
c) o valor estimado do comprimento da barra para a temperatura de [tex3]18^{\circ}\text{C}[/tex3];
d) o valor estimado do comprimento da barra para a temperatura de [tex3]35^{\circ}\text{C}[/tex3].

[Karl Weierstrass]

1)

Solução

---

Como a variável é contínua, é conveniente agruparmos os diâmetros em classes.

Ordenando os dados, obtemos o Rol abaixo.

[tex3]\hspace{80pt}\begin{array}{ccccc}19,3&19,6&20,2&20,4&20,5\\20,8&21,4&21,7&22,0&22,1\end{array}[/tex3]

Assim, a amplitude total [tex3](A_t)[/tex3] é

[tex3]\hspace{70pt}A_t=22,1-19,3=2,8[/tex3].

Pela fórmula de Sturges, o número de classes [tex3](k)[/tex3] é:

[tex3]\hspace{70pt}k=1+3,3\log\,n=1+3,3\log\,10\approx 4.[/tex3]

A amplitude [tex3](h)[/tex3] dos intervalos de classe é dada por:

[tex3]\hspace{70pt}h=\frac{A_t}{k}=\frac{2,8}{4}=0,7.[/tex3]

Portanto, temos a seguinte distribuição de classes:

[tex3]\hspace{70pt}\begin{array}{c|c}x &f_i\\
\hline 19,3\vdash 20,0 \,\,& 2\\
20,0\vdash 20,7\,\, & 3\\
20,7\vdash 21,4\,\, & 1\\
21,4\vdash 22,1\,\, & 4\\
\hline & n=10 \end{array}[/tex3]

Como a média é dada por

[tex3]\hspace{70pt}\overline{x}=\frac{\sum x_if_i}{n},[/tex3]

devemos acrescentar em nossa tabela uma coluna com os pontos médios de classe [tex3](x_i)[/tex3] e outra com os produtos [tex3]x_if_i[/tex3]:

[tex3]\hspace{70pt}\begin{array}{cc|cc|c|}
x \,\,& f_i & x_i & x_if_i\\
\hline 19,3\vdash 20,0 \,\,& 2 & 19,65 & 39,30 \\
20,0\vdash 20,7\,\, & 3 & 20,35 & 61,05 \\
20,7\vdash 21,4\,\, & 1 & 21,05 & 21,05\\
21,4\vdash 22,1\,\, & 4 & 21,55 & 86,20\\
\hline\,\,& n=10 &\,&\sum x_if_i\\=207,6\end{array}[/tex3]

Logo,

[tex3]\hspace{70pt}\overline{x}=\frac{\sum x_if_i}{n}=\frac{207,6}{10}=20,76\,\text{mm}[/tex3]

O Desvio Médio é dado por

[tex3]\hspace{70pt}D_m=\frac{\displaystyle{\sum_{i=1}^k} |x_i -\overline{x}|\,\cdot f_i}{n}[/tex3]

Acrescentando mais duas colunas na tabela, temos:

[tex3]\hspace{70pt}\begin{array}{cc|cc|cc|c|cc|cc}
x \,\,& f_i & x_i & x_if_i&|x_i-\overline{x}|&|x_i-\overline{x}|f_i\\
\hline 19,3\vdash 20,0 \,\,& 2 &\,\,\, 19,65 & 39,30 & 1,11 & 2,22 \\
20,0\vdash 20,7\,\, & 3 &\,\,\, 20,35 & 61,05 & 0,41 & 1,23\\
20,7\vdash 21,4\,\, & 1 &\,\,\, 21,05 & 21,05 & 0,29 & 0,29\\
21,4\vdash 22,1\,\, & 4 &\,\,\, 21,55 & 86,20 & 0,79 & 3,16\\
\hline\,\,& n=10 &\,&\sum x_if_i=207,6 & \, &\sum |x_i-\overline{x}|\,\cdot f_i=5,90 \end{array}[/tex3]

Portanto,

[tex3]\hspace{70pt}D_m=\frac{5,9}{10}=0,59\,\text{mm}.[/tex3]

A variância amostral é dada por:

[tex3]\hspace{70pt}V=\frac{\displaystyle{\sum_{i=1}^k} (x_i -\overline{x})^2\,\cdot f_i}{n-1}.[/tex3]

Agora precisamos de [tex3]\displaystyle{\sum_{i=1}^k} (x_i -\overline{x})^2\,\cdot f_i[/tex3]. Então vamos adicionar as colunas [tex3](x_i -\overline{x})^2[/tex3] e [tex3](x_i -\overline{x})^2\,\cdot f_i[/tex3].

[tex3]\begin{array}{cc|cc|cc|c|cc|cc|cc|}
x \,\,& f_i & x_i & x_if_i&|x_i-\overline{x}|&|x_i-\overline{x}|f_i &(x_i -\overline{x})^2 & (x_i -\overline{x})^2\,\cdot f_i\\
\hline 19,3\vdash 20,0 \,\,& 2 &\,\,\, 19,65 & 39,30 & 1,11 & 2,22 &1,2321 & 2,4642 \\
20,0\vdash 20,7\,\, & 3 &\,\,\, 20,35 & 61,05 & 0,41 & 1,23 & 0,1681 & 0,5043 \\
20,7\vdash 21,4\,\, & 1 &\,\,\, 21,05 & 21,05 & 0,29 & 0,29 & 0,0841 & 0,0841\\
21,4\vdash 22,1\,\, & 4 &\,\,\, 21,55 & 86,20 & 0,79 & 3,16 & 0,6241 & 2,4964\\
\hline\,\,& n=10 &\,&\sum =207,6 & \, &\sum =5,90 &\, &\displaystyle{\sum =5,549} \end{array}[/tex3]

Desse modo,

[tex3]\hspace{70pt}V=\frac{5,549}{9}\approx 0,62\,\text{mm}^2.[/tex3]

Finalmente, temos que o desvio padrão é dado por

[tex3]\hspace{70pt}D=\sqrt{V}=\sqrt{0,62}=0,78\,\text{mm}.[/tex3]

[Karl Weierstrass]

2)

Dicas e Respostas

---

É só usar a mesma idéia do anterior. Exceto pela variância que talvez seja a populacional. Neste caso a fórmula é:

[tex3]\hspace{70pt}V=\frac{\sum (x_i -\overline{x})^2\,\cdot f_i}{n}.[/tex3]

Também é possível aplicar um método mais simples.

Considerando a variância populacional, temos que:

[tex3]\hspace{70pt}V=\frac{1}{n}\left[{\sum}(x_i^2f_i)-\frac{\left({\sum} x_if_i\right) ^2}{n}\right][/tex3]

Note que por essa fórmula a tabela terá apenas [tex3]5[/tex3] colunas:

i) classes;

ii) [tex3]f_i[/tex3];

iii) [tex3]x_i[/tex3];

iv) [tex3]x_if_i[/tex3] e

v) [tex3]x_i^2f_i[/tex3] [tex3](x_i^2f_i=x_i\cdot x_if_i)[/tex3]

Respostas:

[tex3]\hspace{70pt}\overline{x}=24\text{kg}[/tex3]
[tex3]\hspace{70pt}V=192\,\text{kg}^2[/tex3] (populacional)
[tex3]\hspace{70pt}D\approx 11,36\,\text{kg}[/tex3] (populacional)

[Karl Weierstrass]

3)

Solução

---

a) O coeficiente de correlação linear é dado por

[tex3]\hspace{70pt}r_{TC}=\frac{\sum TC\,-\,\frac{\sum (T)\sum (C)}{n}}{\sqrt{\left[\sum T^2 \,-\,\frac{(\sum T)^2}{n}\right]\left[\sum C^2 \, -\,\frac{(\sum C)^2}{n}\right]}}.[/tex3]

[tex3]\hspace{70pt}\begin{array}{cc|cc|cc|cc|c}
C && T && T^2 && C^2 && TC\\
\hline 1003 && 10 && 100 && 1006009 && 10030 \\
1005 && 15 && 225 && 1010025 && 15075 \\
1010 && 20 && 400 &&1020100 && 20200 \\
1011 && 25 && 625 && 1022121 && 25275\\
1014 && 30 && 900 && 1028196 && 30420\\
\hline\underbrace{\sum C}_{5043} &&\underbrace{\sum T}_{100} && \underbrace{\sum T^2}_{2250}&& \underbrace{\sum C^2}_{5086451} &&\underbrace{\sum TC}_{101000} \end{array}[/tex3]

Substituindo os valores da tabela, segue que

[tex3]\hspace{70pt}r_{TC}=\frac{101000\,-\,\frac{100\,\cdot \,5043}{5}}{\sqrt{\left[2250 \, -\,\frac{100^2}{5}\right]\left[5086451 \, -\,\frac{5043^2}{5}\right]}}=\frac{140}{\sqrt{250\,\cdot\,81,2}}\approx 0,983.[/tex3]

b) A equação da reta procurada tem a forma

[tex3]\hspace{70pt}\hat{C}=a+bT,[/tex3]

onde

[tex3]\hspace{70pt}a=\overline{C}-b\overline{T}\,\,\,\,[/tex3] e [tex3]\,\,\,\,b=\frac{\sum TC\,-\,\frac{\sum (T)\sum (C)}{n}}{\sum T^2 \,-\,\frac{(\sum T)^2}{n}}.[/tex3]

Do item (a) segue que

[tex3]\hspace{70pt}b=\frac{140}{250}=0,56[/tex3].

Como

[tex3]\hspace{70pt}\overline{C}=\frac{\sum C}{n} =\frac{5043}{5}=1008,6[/tex3]

e

[tex3]\hspace{70pt}\overline{T}=\frac{\sum T}{n} =\frac{100}{5}=20[/tex3],

vem

[tex3]\hspace{70pt}a=1008,6\,-\,0,56\,\cdot\,20=997,4.[/tex3]

Portanto, a reta de regressão linear é

[tex3]\hspace{70pt}\hat{C}=997,4+0,56T.[/tex3]

c) Fazendo [tex3]T=18^{\circ}\text{C}[/tex3], obtemos [tex3]\hat{C}=997,4+0,56\cdot 18=1007,48\,\text{mm}.[/tex3]

d) Fazendo [tex3]T=35^{\circ}\text{C}[/tex3], obtemos [tex3]\hat{C}=997,4+0,56\cdot 35=1017\,\text{mm}.[/tex3]